bzoj 4408: [Fjoi 2016]神秘数 数学 可持久化线段树 主席树

https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=4299

一个可重复数字集合S的神秘数定义为最小的不能被S的子集的和表示的正整数。例如S={1,1,1,4,13}，

1 = 1

2 = 1+1

3 = 1+1+1

4 = 4

5 = 4+1

6 = 4+1+1

7 = 4+1+1+1

8无法表示为集合S的子集的和，故集合S的神秘数为8。

现给定n个正整数a[1]..a[n]，m个询问，每次询问给定一个区间[l,r](l<=r)，求由a[l],a[l+1],…,a[r]所构成的可重复数字集合的神秘数。

Input

第一行一个整数n，表示数字个数。
第二行n个整数，从1编号。
第三行一个整数m，表示询问个数。
以下m行，每行一对整数l,r，表示一个询问。

Output

对于每个询问，输出一行对应的答案。

题解

A : 

将a从小到大排序，设当前神秘数为ans，扫到了a[i]，那么

1. a[i] < ans 时, ans = ans + a[i] ;

2. a[i] > ans时, ans就是最小的神秘数, 跳出循环. 

B : 

我们也可以发现神秘数简化推法，ans初始为1，那么下一个ans为(sigma (a[i]<=ans) a[i])+1 . （用A部分方法压缩的想法来思考 [ lastans , nowans ) 区间内数的填充）, 能够看出sigma的次数是log级的. 

此时我们需要维护的是任意区间内的sigma, 主席树可以实现. 

这里的主席树并没有离散化，因为主席树只需要建 n*( log总长 ) 个点, 这样写更方便 ( 常数变大了但是并不是很影响复杂度 ), 离散化也阔以, 不过注意一下查找的时候用upper_bound. 

 

(在这里mark一下lower_bound和upper_bound的方向)

 

 

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cmath>
using namespace std;
const int maxn=100010;
int n,m,cnt=0,tot=0;
int a[maxn]={},rt[maxn]={};
int sum[maxn*60]={},lc[maxn*60]={},rc[maxn*60]={};
int read(){
    int w=0,f=1;char ch=getchar();
    while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
    while(ch>='0'&&ch<='9'){w=w*10+ch-'0';ch=getchar();}
    return w*f;
}
void Build(int l,int r,int y,int &x,int v){
    x=++tot;sum[x]=sum[y]+v;
    if(l==r)return;
    lc[x]=lc[y];rc[x]=rc[y];
    int mid=(l+r)/2;
    if(v<=mid) Build(l,mid,lc[y],lc[x],v);
    else Build(mid+1,r,rc[y],rc[x],v);
}
int Query(int l,int r,int x,int y,int v){
    if(l==r)return sum[y]-sum[x];
    //cout<<sum[y]<<sum[x]<<l<<r<<endl;
    int mid=(l+r)/2;
    if(v<=mid) return Query(l,mid,lc[x],lc[y],v);
    else return Query(mid+1,r,rc[x],rc[y],v)+sum[lc[y]]-sum[lc[x]];
}
int main(){
    //freopen("a.in","r",stdin);
    //freopen("a.out","w",stdout);
    n=read();
    for(int i=1;i<=n;i++){a[i]=read();cnt+=a[i];}
    for(int i=1;i<=n;i++)Build(1,cnt,rt[i-1],rt[i],a[i]);
    m=read();
    for(int i=1;i<=m;i++){
        int l=read();int r=read();
        int ans=1;
        for(;;){
            int z=Query(1,cnt,rt[l-1],rt[r],ans);
            //cout<<z<<endl;
            if(z<ans)break;
            ans=z+1;
        }
        printf("%d\n",ans);
    }
    return 0;
}