主席树

一：静态主席树

　　推荐的博客： http://www.cnblogs.com/zyf0163/p/4749042.html

　　静态的主席树和划分树类似，只不过是用的线段树存放。

　　

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <vector>
using namespace std;
const int N = 100000 + 5;
int a[N], b[N], rt[N * 20], ls[N * 20], rs[N * 20], sum[N * 20];
//rt[i]表示处理完前i个数之后所形成的线段树
//sum[i]表示当前l-r范围内有几个点被更新了
//ls[i]表示编号为rt[i]这个点的左儿子为rt[ls[i]]
//那么rt[r] - rt[l-1]即表示处理的[l, r]区间,对应点的sum相减
//到区间[l, r]的数要查询第k大便很容易了，设左节点中存的个数为cnt，当k<=cnt时，我们直接查询左儿子中第k小的数即可，如果k>cnt，我们只要去查右儿子中第k-cnt小的数即可
int n, k, tot, sz, ql, qr, x, q, T;
void Build(int& o, int l, int r){
    o = ++ tot;
    sum[o] = 0;
    if(l == r) return;
    int m = (l + r) >> 1;
    Build(ls[o], l, m);
    Build(rs[o], m + 1, r);
}

void update(int& o, int l, int r, int last, int p){
    o = ++ tot;
    ls[o] = ls[last];
    rs[o] = rs[last];
    sum[o] = sum[last] + 1;
    if(l == r) return;
    int m = (l + r) >> 1;
    if(p <= m)  update(ls[o], l, m, ls[last], p);
    else update(rs[o], m + 1, r, rs[last], p);
}

int query(int ss, int tt, int l, int r, int k){
    if(l == r) return l;
    int m = (l + r) >> 1;
    int cnt = sum[ls[tt]] - sum[ls[ss]];
    if(k <= cnt) return query(ls[ss], ls[tt], l, m, k);
    else return query(rs[ss], rs[tt], m + 1, r, k - cnt);
}

void work(){
    scanf("%d%d%d", &ql, &qr, &x);
    int ans = query(rt[ql - 1], rt[qr], 1, sz, x);
    printf("%d\n", b[ans]);
}

int main(){
    scanf("%d", &T);
    while(T--){
        scanf("%d%d", &n, &q);
        for(int i = 1; i <= n; i ++) scanf("%d", a + i), b[i] = a[i];
        sort(b + 1, b + n + 1);
        sz = unique(b + 1, b + n + 1) - (b + 1);
        tot = 0;
        Build(rt[0],1, sz);
        //for(int i = 0; i <= 4 * n; i ++)printf("%d,rt =  %d,ls =  %d, rs = %d, sum = %d\n", i, rt[i], ls[i], rs[i], sum[i]);
        for(int i = 1; i <= n; i ++)a[i] = lower_bound(b + 1, b + sz + 1, a[i]) - b;
        for(int i = 1; i <= n; i ++)update(rt[i], 1, sz, rt[i - 1], a[i]);
        //for(int i = 0; i <= 5 * n; i ++)printf("%d,rt =  %d,ls =  %d, rs = %d, sum = %d\n", i, rt[i], ls[i], rs[i], sum[i]);
        while(q --)work();
    }
    return 0;
}

但静态主席树仍无法修改初始区间的信息。

二：动态主席树

　　使用了树状数组来存放前缀线段树，即树状数组中的每一个点都是线段树。但这棵线段树不再保存每个前缀的信息了，而是由树状数组的sum函数计算出这个前缀的信息，那么显而易见这棵线段树保存的是辅助数组S的值，即S=A[i-lowbit+1]+...+A[i],其中A[i]表示值为i的元素出现的次数。然后初始时建立一颗静态的主席树，树状数组只保存每次修改的信息。

　　表示不明白，大概能用。

#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<string.h>
#include<sstream>
#include<stdio.h>
#include<math.h>
#include<vector>
#include<string>
#include<queue>
#include<set>
#include<map>
using namespace std;
const int INF=0x3f3f3f3f;
const int maxn=60010;
const int maxm=2500010;
int ls[maxm],rs[maxm],c[maxm];//ls,rs左右儿子指针。c存值的个数
int arr[maxn],H[maxn],T[maxn];//arr存原序列.H存排序后值。T[i]第i棵线段树的根
int s[maxn],ua[maxn],ub[maxn],*use;//s为树状数组结点。当然也是线段树的根啦。
int n,m,tot;
struct node
{
    int l,r,k;
} qs[10010];//由于要先hash。
void init()//hash初始化
{
    sort(H,H+m);
    m=unique(H,H+m)-H;
}
int Hash(int x)//查询x在排好序后的数组中出现的地址。
{
    return lower_bound(H,H+m,x)-H;
}
int build(int L,int R)//建空树
{
    int rt=tot++,mid;
    c[rt]=0;
    if(L!=R)
    {
        mid=(L+R)>>1;
        ls[rt]=build(L,mid);
        rs[rt]=build(mid+1,R);
    }
    return rt;
}
int Insert(int prt,int x,int val)//向空树中插入节点。val==-1时相当于删除点。
{
    //nrt为当前处于线段树的哪个点上。
    int nrt=tot++,tp=nrt,l=0,r=m-1,mid;
    c[nrt]=c[prt]+val;
    while(l<r)//非递归插入。节省内存。
    {
        mid=(l+r)>>1;
        if(x<=mid)
        {
            ls[nrt]=tot++,rs[nrt]=rs[prt];//共享结点
            prt=ls[prt],nrt=ls[nrt];
            r=mid;
        }
        else
        {
            ls[nrt]=ls[prt],rs[nrt]=tot++;
            prt=rs[prt],nrt=rs[nrt];
            l=mid+1;
        }
        //cout<<nrt<<endl;
        c[nrt]=c[prt]+val;
    }
    return tp;
}
int lowbit(int x)
{
    return x&(-x);
}
void update(int x,int p,int d)//树状数组更新,判断更新的是那几个线段树
{
    while(x<=n)
    {
        s[x]=Insert(s[x],p,d);
        x+=lowbit(x);
    }
}
int sum(int x)
{
    int ret=0;
    while(x)
    {
        ret+=c[ls[use[x]]];
        x-=lowbit(x);
    }
    return ret;
}
int qu(int L,int R,int k)//查询函数
{
    int lrt=T[L-1],rrt=T[R],l=0,r=m-1,mid,tp,i,sa,sb;
    for(i=L-1,use=ua;i;i-=lowbit(i)) use[i]=s[i];
    sb=sum(L-1);
    for(i=R  ,use=ub;i;i-=lowbit(i)) use[i]=s[i];
    sa=sum(R);
    while(l<r)
    {
        mid=(l+r)>>1;
        tp=sa-sb+c[ls[rrt]]-c[ls[lrt]];//初始值加改变值
        if(k<=tp)
        {
            r=mid;
            lrt=ls[lrt],rrt=ls[rrt];
            for(i=L-1,use=ua;i;i-=lowbit(i)) use[i]=ls[use[i]];//计算对应子树改变
            sb=sum(L-1);
            for(i=R  ,use=ub;i;i-=lowbit(i)) use[i]=ls[use[i]];
            sa=sum(R);
        }
        else
        {
            l=mid+1;
            k-=tp;
            lrt=rs[lrt],rrt=rs[rrt];
            for(i=L-1,use=ua;i;i-=lowbit(i)) use[i]=rs[use[i]];
            sb=sum(L-1);
            for(i=R  ,use=ub;i;i-=lowbit(i)) use[i]=rs[use[i]];
            sa=sum(R);
        }
    }
    return l;
}
int main()
{
    int i,q,cas;
    char op[10];
    scanf("%d",&cas);
    while(cas--)
    {
        scanf("%d%d",&n,&q);
        tot=m=0;
        for(i=1;i<=n;i++)
            scanf("%d",&arr[i]),H[m++]=arr[i];
        for(i=0;i<q;i++)
        {
            scanf("%s",op);
            if(op[0]=='Q')
                scanf("%d%d%d",&qs[i].l,&qs[i].r,&qs[i].k);
            else
            {
                scanf("%d%d",&qs[i].l,&qs[i].r);
                qs[i].k=-INF,H[m++]=qs[i].r;
            }
        }
        init();
        T[0]=build(0,m-1);
        for(i=1;i<=n;i++)
            T[i]=Insert(T[i-1],Hash(arr[i]),1);
        for(i=1;i<=n;i++)
            s[i]=T[0];
        for(i=0;i<q;i++)
        {
            if(qs[i].k==-INF)//更改操作相当于先将原来的数删除后再插入新的。
            {
                update(qs[i].l,Hash(arr[qs[i].l]),-1);
                update(qs[i].l,Hash(qs[i].r),1);
                arr[qs[i].l]=qs[i].r;//开始忘了改这里无限wa啊。。。
            }
            else
                printf("%d\n",H[qu(qs[i].l,qs[i].r,qs[i].k)]);
        }
    }
    return 0;
}