CF938D题解

题面

Description:
给定一个 $n(1\leq n\leq2\times10^5)$ 个点的无向图 $G$ 和数组 $a$ ，对于每个 $i(1\leq i\leq n)$ ，求出 $\min_{j=1}^n(2\times\operatorname{dis}(i,j)+a_j)$ 。

因为题目把所有路径长度乘了个 $2$ ，所以下文的讲述中默认将边权 $\times2$ 。
如果我只做一个点，那显然直接跑最短路算法即可。
但是我有 $n$ 个点，显然不能一个一个做所以考虑建立一个超级源点，指向每一个点，边权为 $a_i$ 。这样我们就顺带搞定了最后加上 $a_i$ 这个要求。
因为路是双向的，所以从 $i$ 到 $j$ 可以转化为从 $j$ 到 $i$ ，这样我们可以发现取点对 $(i,j)$ 其实就是从超级源点走到 $j$ 然后从 $j$ 走到 $i$ 。那就是从超级源点走到 $i$ 。这样我们就证明了 $2\operatorname{dis}(i,j)+a_j=\operatorname{dis}(0,j)+\operatorname{dis}(j,i)=\operatorname{dis}(0,i)$ 。这样，我们就把问题转化为了从超级源点走到 $i$ 的最短路问题。于是这个题就做完了。