CF869C题解
Description:
有 \(a\) 个红色岛，\(b\) 个蓝色岛，\(c\) 个紫色岛，在岛之间连边，使得任意两个同色岛屿之间的距离不小于 \(3\)，问有几种连边方法。
不用组合数的 DP 方法。
明显，答案是 \(\text{红色岛和蓝色岛之间的连边方法数}\times\text{蓝色岛和紫色岛之间的连边方法数}\times\text{红色岛和紫色岛之间的连边方法数}\)。
考虑到它们互相独立，我们可以设 \(f(i,j)\) 为在数量为 \(i\) 的颜色的岛与数量为 \(j\) 的颜色的岛之间连边的方案数。比如，\(f(1,1)=2\)，因为我既可以选择不连边，也可以选择连一条边。那么，答案就是 \(f(a,b)\times f(b,c)\times f(a,c)\)。
考虑 \(f\) 的递推式。明显的，同一个点只能连出去一条边，也可以不连边。如果我连边，则要在 \(j\) 个点中选一个点和它相连，有 \(j\) 种可能性，而 \(i\) 要减一，\(j\) 也要减一。如果我不连边，则只有一种可能性，\(i\) 减一，\(j\) 不变。于是我们得到了方程 $$f(i,j)=f(i-1,j-1)\times j+f(i-1,j)$$
边界条件明显是 \(f(i,0)=f(0,i)=1\)。前面的式子直接递推即可。时间复杂度在默认 \(a,b,c\) 同阶的情况下是 \(O(a^2)\)，可以通过本题。
