ARC103E题解

题面

题意：
给你一个长度为 \(n\) 的 01 串 \(S\) ，要求构造一颗 \(n\) 个点的树。
要求：
当 \(S_i=1\) 时，存在一条边，使得若它被切断时，生成的森林中有一棵树的节点数为 \(i\) 。
当 \(S_i=0\) 时，不存在一条边，使得若它被切断时，生成的森林中有一棵树的节点数为 \(i\) 。

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显然，以下条件必须被满足：

1. \(S_1=1\) ，因为肯定有叶子节点。
2. \(S_n=0\) 。
3. \(S_i=S_{n-i}\) ，因为切出来两棵子树节点数之和为 \(n\) 。

构造法甲：
我们设字符串中所有值为 \(1\) 的位置下标共有 \(k\) 个，分别是 \(p_1,p_2,\ldots,p_k\) 。
我们先取一条长度 \(k+1\) 的链作为主链，链上的点编号分别为 \(1 \sim k+1\)。
接下来，\(\forall i \in [2,n]\) ，在主链上的第 \(i\) 个点上挂 \(p_i-p_{i-1}-1\) 个点即可。
易知这种方案一定能凑出 \(S_p=1\) 的所有 \(p\)（得到 \(p_i\) 只需要将 \(i\) 号点和 \(i+1\) 号点之间的边切掉就行），同时保证所有 \(S_p=0\) 的 \(p\) 切不出来。
代码

构造法乙：
先将 \(S\) 劈成两半，由于对称，不考虑右半边。
从中间向左找每一个 \(S_i=1\) ，然后在当前点上挂一个大小为 \(i\) 的子树，剩下的点全部挂在当前点上。那一棵子树递归操作即可。
切割方法类似。