HDU3507题解

题面

先讲坑点：

1. 多测。
2. HDU不能cerr。

这个题明显的可以定义 \(f_i\) 为我打印到 \(i\) 点时的最小花费，那么显然我们有 \(f_i=\operatorname{min}\{f_j+(\sum_{k=j}^i a_k) ^2\}, 1\leq j< i\)。但是这样做的时间复杂度为 \(O(n^2)\) ，不能通过本题。所以考虑斜率优化。

我们先设 \(a<b<i\) 且 \(f_a+(\sum_{k=a}^i a_k) ^2 < f_b+(\sum_{k=b}^i a_k) ^2\) ，就是说选 \(a\) 不选 \(b\)。然后我们对此式进行一个化简。设 \(sum_i\) 为到 \(i\) 的前缀和。

\[\begin{aligned} f_a+(\sum_{k=a}^i a_k) ^2 & < f_b+(\sum_{k=b}^i a_k) ^2, \\ f_a+(sum_i-sum_a)^2 & < f_b+(sum_i-sum_b)^2,\\ f_a+sum_i^2-2\times sum_i \times sum_a +sum_a^2 & < f_b+sum_i^2-2\times sum_i \times sum_b +sum_b^2, \\ f_a-2\times sum_i \times sum_a +sum_a^2 & < f_b-2\times sum_i \times sum_b +sum_b^2, \\ f_a-f_b+sum_a^2-sum_b^2 & < 2\times sum_i \times sum_a-2\times sum_i \times sum_b, \\ (f_a+sum_a^2)-(f_b-sum_b^2) & < 2\times sum_i \times (sum_a- sum_b), \\ \frac{(f_a+sum_a^2)-(f_b-sum_b^2)}{sum_a- sum_b} & > 2\times sum_i, \\ \end{aligned} \]

设 \(f_x+sum_x^2\) 为 \(Y(x)\) ， \(sum_x\) 为 \(X(x)\) ，那么

\[\frac{Y(a)-Y(b)}{X(a)-X(b)} > 2 \times sum_i \]

发现了没有，这不就是一个斜率么！

我们继续考虑：

如果 \(a,b,c\) 是连续的三个点且保证 \(\phi(a,b) > \phi(b,c)\) ，那么我们分类讨论一下：

如果 \(\phi(a,b)>2\times sum_i\) ，那么 \(a\) 比 \(b\) 优。
如果 \(\phi(a,b)<2\times sum_i\) ，那么 \(\phi(b,c)<2\times sum_i\) ，所以 \(c\) 比 \(b\) 优。
综上所述， \(b\) 废了。我们要把 \(b\) 踢出当前列表。

于是我们立马想到用单调队列，很快啊！

然后考虑队头。

如果 \(\phi(q_{l+1},q_l)>2\times sum_i\) 那么 \(q_l\) 比 \(q_{l+1}\) 优，因为我们开的是单调队列，所以 \(q_l\) 最优， 用 \(q_l\) 进行转移。
否则 \(q_{l+1}\) 比 \(q_l\) 优，那么很报歉 \(q_l\) 废了， 头指针 \(+1\) 。

于是这个题就做完了，把上面所有东西拼起来即可，但因为除法有误差，所以我们把所有包含除法的操作进行移项，将分母移到右边去。
代码