noi openjudge 1768：最大子矩阵

链接：http://noi.openjudge.cn/ch0406/1768/

 

描述
已知矩阵的大小定义为矩阵中所有元素的和。给定一个矩阵，你的任务是找到最大的非空(大小至少是1 * 1)子矩阵。

比如，如下4 * 4的矩阵

0 -2 -7 0
9 2 -6 2
-4 1 -4 1
-1 8 0 -2

的最大子矩阵是

9 2
-4 1
-1 8

这个子矩阵的大小是15。
输入
输入是一个N * N的矩阵。输入的第一行给出N (0 < N <= 100)。再后面的若干行中，依次（首先从左到右给出第一行的N个整数，再从左到右给出第二行的N个整数……）给出矩阵中的N2个整数，整数之间由空白字符分隔（空格或者空行）。已知矩阵中整数的范围都在[-127, 127]。
输出
输出最大子矩阵的大小。
样例输入
4
0 -2 -7 0 9 2 -6 2
-4 1 -4 1 -1

8 0 -2
样例输出
15

 

芒果君：第一次看到这道题，还是在贪心里，就特别懵逼，后来dalao教我用矩阵前缀和来写，画个图的话就很容易理解啦~

(a:元素，sum:从a（1,1）到a（i,j）所有值的和，就是前缀和。)

边读入边求前缀和(sum)，用这个公式来求：①+②+③-④ 得出sum(5,3)=a(5,3)+sum(4,3)+sum（5,2）-sum(4,2);

好像有点递推思想呢？

然后四重循环暴力枚举所有子矩阵，找到最大值！

 

 

公式：①-②-③+④，枚举出（2，2）到（5，3）的矩阵大小t=sum(5,3)-sum(5,1)-sum(1,3)+sum(1,1)，更新最大值。代码如下——

 

#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
int ju[110][110],sum[110][110],n,i,j,k,l,ans;
int main()
{
    scanf("%d",&n);
    for(i=1;i<=n;++i)
        for(j=1;j<=n;++j){
            scanf("%d",&ju[i][j]);
            sum[i][j]=ju[i][j]+sum[i-1][j]+sum[i][j-1]-sum[i-1][j-1];
        }
    for(i=1;i<=n;++i)
        for(j=1;j<=n;++j)
            for(k=1;k<=i;++k)
                for(l=1;l<=j;++l)
                    ans=max(ans,sum[i][j]+sum[k-1][l-1]-sum[i][l-1]-sum[k-1][j]);
    printf("%d",ans);
    return 0;
}

 

 

然后呢，这道题用DP做就是酱紫的（参考最大子序列和）~读入的时候求每一列的前缀和，再用三重循环把它处理成子矩阵(i,j限制行的范围，k是列)。抽象的看，是由线到面的转化。

 

#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
int ju[110][110],f[110],n,i,j,k,ans;
int main()
{
    scanf("%d",&n);
    for(i=1;i<=n;++i)
        for(j=1;j<=n;++j){
            scanf("%d",&ju[i][j]);
            ju[i][j]+=ju[i-1][j];
        }
    for(i=1;i<=n;++i)
        for(j=1;j<i;++j){
            for(k=1;k<=n;++k)
                f[k]=ju[i][k]-ju[j][k];        
            for(k=1;k<=n;++k){
                f[k]=max(f[k],f[k-1]+f[k]);
                ans=max(ans,f[k]);
            }
        }
    printf("%d",ans);
    return 0;
}

 

 

各位dalao看懂了吗？没看懂也不关我的事~

（最后不负责任的博主在一片骂声中点下了保存修改）