最长递增子序列(Longest Increasing Subsequence,LIS)

　　内容参考书籍《算法竞赛入门到进阶》

　　LIS问题：给定一个长度为N的数组，找出一个最长的单调递增子序列。例如5,6,7,4,2,8,3，它的单调递增子序列为5,6,7,8，长度为4。

　　下面通过一道经典例题来讲解 hdu 1257:http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1257

题意：该拦截系统的第一发炮弹能够达到任意高度，但是以后的每发炮弹不能超过前一发的高度。

一：贪心法：假设发射了很多个高度无穷大的导弹，在读入一个炮弹时，就将一个导弹的高度下降来拦截这个炮弹，之后的每一个炮弹就由能拦截它的最低的那个导弹来拦截。最后统计用于拦截的导弹个数，也就是最少需要的拦截系统的套数。

二：DP：换个说法，题目是让统计一个序列中的单调递减子序列最少有多少个。而我们刚刚提到了LIS是指求最长的单调递增子序列，假设我们已经掌握了LIS算法，那是不是说我们把序列反过来对这个反序列求一个LIS，然后去掉这个LIS再在剩下的数里面再求一个LIS直到序列为空，最后统计一下LIS的个数呢？实际上，不用这样麻烦，直接求该序列的LIS即可。

　　证明如下：

　　1.从第一个数开始，找一个最长的递减子序列，即第一个拦截子系统X，在样例中是{389，300,299,170,158,65}，去掉后还剩下{207,155}；

　　2.在剩下的序列中再找一个最长递减子序列，即第二个拦截子系统Y，是{207,155}。

不难发现，在Y中，至少有一个数a大于X中的某个数，否则a比X的所有数都小，应该在X中。所以我们从每一个拦截子系统中拿出一个数，是可以构成一个递增子序列的。拦截系统的数量等于这个递增子序列的长度，如果这个递增子序列不是最长，那么就可以从某个系统中拿出两个数，而拦截系统不是递增的，这就矛盾了。故此题直接求LIS即可。

　　下面讲解求LIS。

　　方法一：根据前面讲的LCS，我们对原序列排序得到{2,3,4,5,6,7,8}，则该序列与原序列的LCS即是我们要求的LIS，复杂度为O(n²)

　　方法二：直接DP。定义状态dp[i]，表示以第i个数为结尾的最长递增子序列的长度，那么：dp[i]=max{0,dp[j]}+1，最后答案为max{dp(i)}。方法二的复杂度也是O(n²)

下面给出方法二代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int MAXN = 10000;
int n,high[MAXN];
int LIS()
{
    int ans = 1;
    int dp[MAXN];
    dp[1] = 1;
    for (int i = 2; i <= n; ++i)
    {
        int max = 0;
        for (int j = 1; j < i; ++j)
        {
            if (dp[j] > max && high[j] < high[i]) max = dp[j];
        }
        dp[i] = max + 1;
        if (dp[i] > ans) ans = dp[i];
    }
    return ans;
}
int main(int argc, char const *argv[])
{
    while(cin>>n)
    {
        for (int i = 1; i <= n; ++i)
        {
            cin>>high[i];
        }
        cout<<LIS()<<endl;
    }
    return 0;
}

　　方法三：通过辅助数组d[]统计最长递增子序列的长度。复杂度O(nlog₂n)。具体操作：逐个处理high[]中的数字，例如处理到high[k]，如果high[k]比d[]末尾的数字更大，就加到d[]的后面；如果小，就替换d[]中第一个比它大的数字。

　　下面以high[]={4,8,9,5,6,7}为例

i	high[]	d[]	len	说明
1	4,8,9,5,6,7	4	1	初始化d[1]=high[1]
2	4,8,9,5,6,7	4,8	2	high[2]>d[1],加到d[]的后面
3	4,8,9,5,6,7	4,8,9	3	同上
4	4,8,9,5,6,7	4,5,9	3	5比9小，用5替换第一个比5大的数即8
5	4,8,9,5,6,7	4,5,6	3	6比9小，同上
6	4,8,9,5,6,7	4,5,6,7	4	7比6大，加后面

 

 

 

 

 

 

 

 

 

结束后len=4，即为LIS的长度。

下面是代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int MAXN = 10000;
int n,high[MAXN];
int LIS()
{
    int len = 1;
    int d[MAXN];
    d[1] = high[1];
    for (int i = 2; i <= n; ++i)
    {
        if (high[i] > d[len]) d[++len] = high[i];
        else{
            int j = lower_bound(d+1,d+len+1,high[i])-d;
            d[j] = high[i];
        }
    }
    return len;
}
int main(int argc, char const *argv[])
{
    while(cin>>n)
    {
        for (int i = 1; i <= n; ++i)
        {
            cin>>high[i];
        }
        cout<<LIS()<<endl;
    }
    return 0;
}