0/1背包

内容参考书籍《算法竞赛入门到进阶》

　　0/1背包是最经典的DP问题，没有之一。

背包问题：有多个物品，重量不同、价值不同，以及一个容量有限的背包，选择一些物品装到背包中，问怎么才能使装进背包的物品总价值最大

如果每个物体可以切分，则是一般背包问题，使用贪心法。例如吃自助餐，要使吃到肚子里的东西价值最大，只需要从最贵的食物吃起即可。

如果物体不可分割就称为0/1背包问题，例如食物都是一份一份的，每一份都必须吃完。如果目前最贵的一份超过了你的饭量，那只好放弃，这样就不能用贪心法求解了。

　　给定n种物品，背包i的重量是w_i 、价值为v_i ，背包的总容量为C。在装入背包的物品时对每种物品i只有两种选择，装还是不装也就是所谓的0/1。如何选择物品，使得装入背包的总价值最大呢？

给定一个例子：有4个物品，其重量分别是2、3、6、5，价值分别为6、3、5、4，背包的容量为9.引入一个(n+1)x(C+1)的二维表dp[][]，可以把每个dp[i][j]都看成一个背包，dp[i][j]表示把前i个物品装入容量为j的背包中获得的最大价值，i是纵坐标，j是横坐标。

一：假设只装第一个物品。

　　由于物品重量是2，所以背包容量小于2的都装不进去，得dp[1][0]=dp[1][1]=0;物品1的重量等于背包容量，可以装，价值为物品1的价值,dp[1][2]=6;容量大于2的背包，多于容量用不到，所以价值和容量2的背包一样。

二:在一的基础上增加第二个物品。

　　如果物品二的重量比背包容量大，那么不可能装物品2，从背包容量等于物品二开始：

　　(1)如果装物品2(重量是3)，那么相当于只把物品1装到容量减3的背包中。

　　(2)如果不装物品2，那么相当于只把物品1装到背包中

　　(3)取(1)和(2)的最大值，得dp[2][3]=max(3,6)=6。

三：继续增加重复二，最后输出最大值即可。

那如果要求输出0/1背包方案呢？这需要我们倒过来观察：

dp[4][9]=max{dp[3][4]+4,dp[3][9]}=dp[3][9],说明没有装物品4，用x₄=0表示；

dp[3][9]=max{dp[2][3]+5,dp[2][9]}=dp[2][3]+5=11,说明装了物品3，用x₃=1表示；

dp[2][3]=max{dp[1][0]+3,dp[1][3]}=dp[1][3],说明没有装物品2，用x₂=0表示；

dp[1][3]=max{dp[0][1]+6,dp[0][3]}=dp[0][1]+6,说明装了物品1，用x₁=1表示；

 练习：hdu2602：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2602

代码如下：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int a[1010];
int b[1010];
int ans[1010];
int main(int argc, char const *argv[])
{
    int t;
    cin>>t;
    while(t--)
    {
        memset(a,0,sizeof(a));
        memset(b,0,sizeof(b));
        memset(ans,0,sizeof(ans));
        int n,m;
        cin>>n>>m;
        for (int i = 0; i < n; ++i)
        {
            cin>>a[i];
        }
        for (int i = 0; i < n; ++i)
        {
            cin>>b[i];
        }
        for (int i = 0; i < n; ++i)//遍历每个物品
        {
            for (int j = m; j >= b[i]; --j)//从每个物品的体积开始往后遍历
            {
                ans[j]=max(a[i]+ans[j-b[i]],ans[j]);
                //cout<<ans[j]<<" ";
            }
            //cout<<endl;
        }
        cout<<ans[m]<<endl;
    }
    return 0;
}