CF1996D Fun

CF1996D Fun

有一个很奇葩的做法，跟官方做法完全不一样，一定要来分享一下。

由 $ab+ac+bc\le n$ 我们可以得出 $a(b+c)+bc\le n$。所以我们考虑枚举 $a$ 和 $b,c$ 的和 $k$，由于有 $ak\le n$ 的限制，所以这样枚举的复杂度为 $\lfloor \frac{n}{1}\rfloor +\lfloor \frac{n}{2}\rfloor +\lfloor \frac{n}{3}\rfloor +\cdots =O(n\log n)$。

接下来我们考虑数出满足这样条件的 $b,c$。问题转化为两个数的和为定值，求两个数的乘积 $\le n-ak$。我们设一个数为 $x$，注意 $x$ 的定义域为 $[1,k-1]$。则 $x(k-x)\le n-ak$，化简为 $x^2-kx+n-ak\ge 0$，$\mathrm{\Delta }$ 为 $k^2-4(n-ak)$。若 $\mathrm{\Delta }\le 0$，则上式是恒成立的，答案直接加上 $k-1$ 即可。若 $\mathrm{\Delta }>0$，我们能够求出两个根 $x_1,x_2$，那么答案为 $[1,x_1]$ 和 $[x_2,k-1]$ 中的整数个数。

代码：

#include <bits/stdc++.h>
#define int long long
#define fi first
#define se second
#define pb push_back
#define mk make_pair
#define ll long long
#define space putchar(' ')
#define enter putchar('\n')
using namespace std;

typedef vector <int> vi;
typedef pair <int, int> pii;

inline int rd() { int x = 0, f = 1; char c = getchar(); while (!isdigit(c)) f = c == '-' ? -1 : f, c = getchar(); while (isdigit(c)) x = (x<<3)+(x<<1)+(c^48), c = getchar(); return x*f; }
template <typename T> inline void write(T x) { if (x < 0) x = -x, putchar('-'); if (x > 9) write(x/10); putchar(x%10+48); }

void solve() {
	int n, x, ans = 0; cin >> n >> x;
	for (int a = 1; a <= x; ++a)
		for (int k = 2; a+k <= x && a*k <= n-1; ++k) {
			int r = n-a*k, d = k*k-4*r;
			if (d <= 0) ans += k-1;
			else {
				double x1 = (k-sqrt(d))/2, x2 = (k+sqrt(d))/2;
				ans += max((int)floor(x1), 0ll)+max((int)(k-ceil(x2)), 0ll);
			}
		}
	cout << ans << '\n';
}

signed main() {
	int t = rd();
	while (t--) solve();
	return 0;
}