计算几何入门

目录

• 前言
• 向量
• 向量的模
• 相反向量
• 垂直向量
• 共线向量
• 零向量
• 向量的加法
• 向量的减法
• 向量的数乘
• 向量的点积
• 向量的叉积
• 线段交点
• 向量旋转
• 三角剖分求面积
• 凸包
  • Graham 算法

前言

前置知识：初中数学，数学必修一，必修二部分内容，三角函数。

文中提到的矩阵啥的不用管，没什么用

向量

向量是一个有大小和方向的量，可以用有箭头的线段表示。若向量的起点为 $A$，终点为 $B$，则这个向量可以表示为 $\overrightarrow{AB}$，或者 $\overrightarrow{a}$。

二位平面中充斥着无数的向量，通常为了方便表述一个向量，会将向量平移使得起点为原点，终点为 $A(x,y)$，即一个点 $A$ 表示向量 $\overrightarrow{OA}$，可记为 $\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]$。

向量的模

向量的模长，即长度。向量 $\overrightarrow{a}$ 的模长记为 $|\overrightarrow{a}|$，即 $\sqrt{x^2+y^2}$。

相反向量

方向相反，大小相等的向量为相反向量。向量 $\overrightarrow{a}$ 的相反向量记为为 $-\overrightarrow{a}$。

垂直向量

若向量 $\overrightarrow{a}$ 和 $\overrightarrow{b}$ 所在的直线相互垂直，则 $\overrightarrow{a}$ 和 $\overrightarrow{b}$ 互为垂直向量。

共线向量

若向量 $\overrightarrow{a}$ 和 $\overrightarrow{b}$ 所在的直线平行，则 $\overrightarrow{a}$ 和 $\overrightarrow{b}$ 互为共线向量。

零向量

零向量的模长为 $0$，方向任意，它与任何一个向量都共线，坐标为 $(0,0)$。

向量的加法

若将向量看成一种移动的话，那么如上图。先按 $\overrightarrow{a}$ 从 $O$ 走到 $A$ 点，再按照 $\overrightarrow{b}$ 走到 $B$ 点是相当于之间从 $O$ 点走向 $B$ 点的，即 $\overrightarrow{c}=\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$。若记 $\overrightarrow{a}=\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ y_1\end{array}\right],\overrightarrow{b}=\left[\begin{array}{c}{x}_2\\ y_2\end{array}\right]$，矩阵上的意义为

$$\overrightarrow{c}=\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ y_1\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}{x}_2\\ y_2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{x}_1+x_2\\ y_1+y_2\end{array}\right]$$

向量的减法

可以将 $\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$ 看成 $\overrightarrow{a}+(-\overrightarrow{b})$，那么就可以用到加法了。记 $\overrightarrow{c}=\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$，则 $\overrightarrow{c}$ 的起点为 $\overrightarrow{b}$ 的终点，$\overrightarrow{c}$ 的终点为 $\overrightarrow{a}$ 的终点，通常可以方便获得两个点之间的向量。例如上图中 $\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}$。

向量的数乘

向量的数乘可记作 $\overrightarrow{b}=\lambda \overrightarrow{a}$。$\overrightarrow{a}$ 和 $\overrightarrow{b}$ 的模长之间的关系为 $|\overrightarrow{b}|=|\lambda ||\overrightarrow{a}|$。若 $\lambda >0$，则 $\overrightarrow{b}$ 的方向与 $\overrightarrow{a}$ 相同；若 $\lambda =0$，则 $\overrightarrow{b}$ 为零向量；若 $\lambda <0$，则 $\overrightarrow{b}$ 的方向与 $\overrightarrow{a}$ 相反。

若 $\overrightarrow{a}=\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]$，则矩阵上的意义可看作为

$$\overrightarrow{b}=\lambda \overrightarrow{a}=\lambda \left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}\lambda x\\ \lambda y\end{array}\right]$$

向量的点积

点积，又名数量积，点乘，点积的几何意义为 $\overrightarrow{a}$ 的在 $\overrightarrow{b}$ 所在直线的投影的长度与 $|\overrightarrow{b}|$ 的乘积。记作 $\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}$。通常可以省略中间的点乘。如上图，这里 $\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|\cdot \cos ⟨\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}⟩=OF\cdot OB$。这里还是记作 $\overrightarrow{a}$ 的坐标为 $(x_1,y_1)$，$\overrightarrow{b}$ 的坐标为 $(x_2,y_2)$。下面给个结论：$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=x_1{x}_2+y_1{y}_2$。

证明：

以上图为例，若 $x$ 正半轴上有一点 $C$，记 $\mathrm{\angle }AOB=\theta ,\mathrm{\angle }AOC=\alpha ,\mathrm{\angle }BOC=\beta$。

有 $\cos \alpha ={\displaystyle \frac{x_1}{|\overrightarrow{a}|}},\cos \beta ={\displaystyle \frac{x_2}{|\overrightarrow{b}|}},\sin \alpha ={\displaystyle \frac{y_1}{|\overrightarrow{a}|}},\sin \beta ={\displaystyle \frac{y_2}{|\overrightarrow{b}|}}$。

根据三角恒等变换有 $\cos \theta =\cos (\alpha -\beta )=\cos \alpha \cos \beta +\sin \alpha \sin \beta$。

分别将 $\cos \alpha ,\cos \beta ,\sin \alpha ,\sin \beta$ 代入，得

$$\cos \theta ={\displaystyle \frac{x_1{x}_2+y_1{y}_2}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|}}$$

得到 $|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|\cdot \cos ⟨\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}⟩=x_1{x}_2+y_1{y}_2$，命题得证。

显然点积是有交换律的，因为 $\cos \alpha =\cos (-\alpha )$。

点积可用于判断向量之间的前后关系。

• 若两个向量共线且同向，那么它们的点积为他们的模长之积。

• 若 $⟨\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}⟩<{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$，则 $\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}>0$。

• 若 $⟨\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}⟩={\displaystyle \frac{\pi }{2}}$，则 $\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=0$。

• 若 $⟨\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}⟩>{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$，则 $\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}<0$。

• 若两个向量共线且反向，那么它们的点积为他们的模长之积的相反数。

如下图，直观的反应了夹角与点积的关系。

向量的叉积

又称外积，几何意义为向量根据平行四边形法则围成的面积。记为 $\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}$。根据几何意义，显然有 $\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}=|a||b|\sin ⟨\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}⟩$。记作 $\overrightarrow{a}$ 的坐标为 $(x_1,y_1)$，$\overrightarrow{b}$ 的坐标为 $(x_2,y_2)$。这里同样给个结论：$\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}=x_1{y}_2-x_2{y}_1$。

证明：

仿照点积的证明，我们同样在 $x$ 正半轴上取一点 $C$，记 $\mathrm{\angle }AOB=\theta ,\mathrm{\angle }AOC=\alpha ,\mathrm{\angle }BOC=\beta$。

有 $\sin \beta ={\displaystyle \frac{y_2}{|\overrightarrow{b}|}},\cos \alpha ={\displaystyle \frac{x_1}{|\overrightarrow{a}|}},\cos \beta ={\displaystyle \frac{x_2}{|\overrightarrow{b}|}},\sin \alpha ={\displaystyle \frac{y_1}{|\overrightarrow{a}|}}$。

根据三角恒等变换有 $\sin \theta =\sin (\beta -\alpha )=\sin \beta \cos \alpha -\cos \beta \sin \alpha$。

分别将 $\sin \beta ,\cos \alpha ,\cos \beta ,\sin \alpha$ 代入，得

$$\sin \theta ={\displaystyle \frac{x_1{y}_2-x_2{y}_1}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|}}$$

得到 $|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|\cdot \sin ⟨\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}⟩=x_1{y}_2-x_2{y}_1$，命题得证。

另一种更为直观的证明：

如上图，我们可以用用割补法将蓝色部分的面积求出。颜色相同的面积是相等的，这个用全等不难证出，那么 $\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}=(x_1+x_2)(y_1+y_2)-x_1{y}_1-x_2{y}_2-2x_2{y}_1=x_1{y}_2-x_2{y}_1$。

叉积是没有交换律的，因为 $\sin \alpha \ne \sin (-\alpha )$。

向量与矩阵之间有着密切的联系，叉积运算可看作是

$$\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}=\left|\begin{array}{cc}{x}_1& x_2\\ y_1& y_2\end{array}\right|$$

叉积可用于判断向量之间的左右关系。

• 若两个向量共线，则 $\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}=0$。

• 若 $\overrightarrow{b}$ 的终点在 $\overrightarrow{a}$ 的左侧，则 $\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}>0$。

• 若 $\overrightarrow{b}$ 的终点在 $\overrightarrow{a}$ 的右侧，则 $\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}<0$。

讲了这么多，向量的代码先放一下。

const double eps = 1e-8;//根据题目自选，通常这个好

int sgn(double x) { return fabs(x) < eps ? 0 : x > 0 ? 1 : -1; }//用于判断符号的

struct point {//向量，也可表示点
	double x, y;
	point(double x = 0, double y = 0) : x(x), y(y) {}
	point operator + (const point &b) const { return point(x+b.x, y+b.y); }//加法
	point operator - (const point &b) const { return point(x-b.x, y-b.y); }//减法
	point operator * (const double &k) const { return point(x*k, y*k); }//数乘，乘法
	point operator / (const double &k) const { return point(x/k, y/k); }//数乘，除法
};

double dot(point a, point b) { return a.x*b.x+a.y*b.y; }//点积
double crs(point a, point b) { return a.x*b.y-b.x*a.y; }//差积
double len(point a) { return sqrt(a.x*a.x+a.y*a.y); }//模长

线段交点

根据叉积我们可以求出线段的交点。

如上图，$AB$ 交 $CD$ 与点 $O$，$A,B,C,D$ 的坐标已知，求点 $O$ 的坐标。

先作 $AE\mathrm{\perp }CD$ 交于点 $E$，$BF\mathrm{\perp }CD$ 交于点 $F$。

有 $S_{\mathrm{△}CAD}={\displaystyle \frac{\overrightarrow{AC}\times \overrightarrow{AD}}{2}},S_{\mathrm{△}CBD}={\displaystyle \frac{\overrightarrow{BD}\times \overrightarrow{BC}}{2}}$

因为 $\mathrm{△}CAD$ 和 $\mathrm{△}CBD$ 共用 $CD$ 这条底边。

所以 ${\displaystyle \frac{AE}{BF}}={\displaystyle \frac{\overrightarrow{AC}\times \overrightarrow{AD}}{\overrightarrow{BD}\times \overrightarrow{BC}}}$。

显然有 $\mathrm{△}AOE\backsim \mathrm{△}BOF$。

所以 ${\displaystyle \frac{AO}{BO}}={\displaystyle \frac{AE}{BF}}={\displaystyle \frac{\overrightarrow{AC}\times \overrightarrow{AD}}{\overrightarrow{BD}\times \overrightarrow{BC}}}$。

所以 $\overrightarrow{AO}=\overrightarrow{AB}\times {\displaystyle \frac{\overrightarrow{AC}\times \overrightarrow{AD}}{\overrightarrow{AC}\times \overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BD}\times \overrightarrow{BC}}}$。

即可求出 $O$。

特别地，若 $AB$ 与 $CD$ 没有交点，上述求的即为 $AB$ 所在的直线与 $CD$ 所在的直线的交点。也就是说，其实 $AB$ 和 $CD$ 是否有交点我们是不关心的，读者可以自己画几个图推一推。

代码：

struct line {
	point s, e; double ang;//ang为线段与x轴的夹角
	line() {}
	line(point a, point b) { s = a, e = b, ang = atan2((b-a).y, (b-a).x); }
	bool operator < (const line &b) const { return sgn(ang-b.ang) ? ang < b.ang : sgn(crs(b.s-s, b.e-s)) > 0; }//极角排序
};

point get(line a, line b) { double x = crs(b.s-a.s, b.e-a.s), y = crs(b.e-a.e, b.s-a.e); return a.s+(a.e-a.s)*x/(x+y); }//求线段的交点

向量旋转

如图，有一向量 $\overrightarrow{a}$ 绕点 $O$ 逆时针旋转 $\theta$ 度到向量 $\overrightarrow{b}$，如何表示出 $\overrightarrow{b}$ 的坐标？

记 $\overrightarrow{a}$ 的坐标为 $(x,y)$，$l=\sqrt{x^2+y^2}$，那么有 $x=l\cos \alpha ,y=l\sin \alpha$。

$B$ 的坐标为 $(l\cos (\alpha +\theta ),l\sin (\alpha +\theta ))$。

根据三角恒等变换，有 $\cos (\alpha +\theta )=\cos \alpha \cos \theta -\sin \alpha \sin \theta ,\sin (\alpha +\theta ))=\sin \alpha \cos \theta +\cos \alpha \sin \theta$。

将 $x,y$ 带入进去，那么得 $B$ 的坐标为 $(x\cos \theta -y\sin \theta ,y\cos \theta +x\sin \theta )$。

代码：

point rotate(point a, double x) { return point(a.x*cos(x)-a.y*sin(x), a.y*cos(x)+a.x*sin(x)); }

三角剖分求面积

向量的叉积所求的面积是有向的，方向用正负表示。若给一个多边形，只要逆时针的把相邻两个点的叉积一次累加起来，就能得到这个多边形的面积，这是一个类似容斥的过程，下面举个例子，方便读者更好的体会这个过程。

对于多边形 $ABCDEF$，我们先求 $\overrightarrow{OA}\times \overrightarrow{OB}$ 的值，得到图中红色的面积（红色为负的，蓝色为正的）。

接下来算 $B,C$ 的。

接下来算 $C,D$ 的。

接下来算 $D,E$ 的。

接下来算 $E,F$ 的。

最后算 $F,A$ 的，算法结束，累加的面积即为多边形的面积。

代码：

...//逆时针输入一个n个点的多边形 
for (int i = 1; i <= n; ++i) ans += crs(p[i], p[i == n ? 1 : i+1]);
printf("%.2lf", fabs(ans)/2);

凸包

想象一个平面有 $n$ 个点，若用一条绳子将这 $n$ 个点包起来，求出绳子的最小长度。

首先这条绳子所围成的多边形一定为凸多边形，否则根据三角形不等式得出一定不是最优的，可以直接连边，如下图所示：

那么下面介绍两个算法：

Graham 算法

第一步我们需要找到一个纵坐标最小的点（如有相同的取横坐标最小的），然后极角排序，接下来从第一个点开始扫描每个点。过程中需要维护一个栈，也是当前我们凸包已经选的点，若当前点与栈顶的点的连线与上一条方向不符时，那么去掉栈顶的点，直到符合要求时加入栈。扫描完毕时栈中的点集即为凸包的点。

下面是图解：

若干点。

选出 $A$ 点，极角排序。

栈中加入 $B$ 点，没什么问题。

栈中加入 $D$ 点，没什么问题。

栈中加入 $C$ 点，没什么问题。

栈中加入 $E$ 点，不呈凸多边形，栈中排出 $C$。

符合要求。

栈中加入 $F$ 点，没什么问题。

栈中加入 $G$ 点，不呈凸多边形，栈中排出 $F$。

符合要求。

栈中加入 $H$ 点，没什么问题。

最后算法结束，栈中为 $A,B,D,E,G,H$，为凸包的点（逆时针排列）。

代码：

#include <bits/stdc++.h>
#define fi first
#define se second
#define pb push_back
#define mk make_pair
#define ll long long
#define space putchar(' ')
#define enter putchar('\n')
using namespace std;

typedef vector <int> vi;
typedef pair <int, int> pii;

inline int rd() { int x = 0, f = 1; char c = getchar(); while (!isdigit(c)) f = c == '-' ? -1 : f, c = getchar(); while (isdigit(c)) x = (x<<3)+(x<<1)+(c^48), c = getchar(); return x*f; }
inline ll rdll() { ll x = 0, f = 1; char c = getchar(); while (!isdigit(c)) f = c == '-' ? -1 : f, c = getchar(); while (isdigit(c)) x = (x<<3)+(x<<1)+(c^48), c = getchar(); return x*f; }
template <typename T> inline void write(T x) { if (x < 0) x = -x, putchar('-'); if (x > 9) write(x/10); putchar(x%10+48); }

const double eps = 1e-8;
const int N = 1e5+5;

struct point {
	double x, y;
	point(double x = 0, double y = 0) : x(x), y(y) {}
	point operator + (const point &b) const { return point(x+b.x, y+b.y); }
	point operator - (const point &b) const { return point(x-b.x, y-b.y); }
	point operator * (const double &k) const { return point(x*k, y*k); }
	point operator / (const double &k) const { return point(x/k, y/k); }
} p[N], s[N];

double dot(point a, point b) { return a.x*b.x+a.y*b.y; }
double crs(point a, point b) { return a.x*b.y-b.x*a.y; }
int sgn(double x) { return fabs(x) < eps ? 0 : x > 0 ? 1 : -1; }
double len(point a) { return sqrt(a.x*a.x+a.y*a.y); }
double dist(point a, point b) { return len(a-b); }

bool cmp(point x, point y) { return sgn(crs(x-p[1],y-p[1])) > 0 ? 1 : sgn(crs(x-p[1], y-p[1])) < 0 ? 0 : dist(p[1], x) < dist(p[1], y); }

int main() {
	int n = rd(), top = 0;
	for (int i = 1; i <= n; ++i) {
		scanf("%lf%lf", &p[i].x, &p[i].y);
		if (i > 1 && (p[i].y < p[1].y || (p[i].y == p[1].y && p[i].x < p[1].x))) swap(p[1], p[i]);
	}
	sort(p+2, p+n+1, cmp);
	s[++top] = p[1];
	for (int i = 2; i <= n; ++i) {
		while (top > 1 && sgn(crs(s[top]-s[top-1], p[i]-s[top])) <= 0) --top;
		s[++top] = p[i];
	}
	s[++top] = p[1];
	double ans = 0;
	for (int i = 1; i < top; ++i) ans += dist(s[i], s[i+1]);
	printf("%.2lf", ans);
	return 0;
}

还在施工中 qwq……