中国剩余定理(CRT)的表述如下
中国剩余定理(CRT)的表述如下
设正整数两两互素,则同余方程组
有整数解。并且在模下的解是唯一的,解为
其中,而
为
模
的逆元。
代码:
- int CRT(int a[],int m[],int n)
- {
- int M = 1;
- int ans = 0;
- for(int i=1; i<=n; i++)
- M *= m[i];
- for(int i=1; i<=n; i++)
- {
- int x, y;
- int Mi = M / m[i];
- extend_Euclid(Mi, m[i], x, y);
- ans = (ans + Mi * x * a[i]) % M;
- }
- if(ans < 0) ans += M;
- return ans;
- }
题目:http://poj.org/problem?id=1006
题意:人自出生起就有体力,情感和智力三个生理周期,分别为23,28和33天。一个周期内有一天为峰值,在这一
天,人在对应的方面(体力,情感或智力)表现最好。通常这三个周期的峰值不会是同一天。现在给出三个日
期,分别对应于体力,情感,智力出现峰值的日期。然后再给出一个起始日期,要求从这一天开始,算出最少
再过多少天后三个峰值同时出现。
代码:
- #include <iostream>
- #include <string.h>
- #include <stdio.h>
- using namespace std;
- int a[4], m[4];
- void extend_Euclid(int a, int b, int &x, int &y)
- {
- if(b == 0)
- {
- x = 1;
- y = 0;
- return;
- }
- extend_Euclid(b, a % b, x, y);
- int tmp = x;
- x = y;
- y = tmp - (a / b) * y;
- }
- int CRT(int a[],int m[],int n)
- {
- int M = 1;
- int ans = 0;
- for(int i=1; i<=n; i++)
- M *= m[i];
- for(int i=1; i<=n; i++)
- {
- int x, y;
- int Mi = M / m[i];
- extend_Euclid(Mi, m[i], x, y);
- ans = (ans + Mi * x * a[i]) % M;
- }
- if(ans < 0) ans += M;
- return ans;
- }
- int main()
- {
- int p, e, i, d, t = 1;
- while(cin>>p>>e>>i>>d)
- {
- if(p == -1 && e == -1 && i == -1 && d == -1)
- break;
- a[1] = p;
- a[2] = e;
- a[3] = i;
- m[1] = 23;
- m[2] = 28;
- m[3] = 33;
- int ans = CRT(a, m, 3);
- if(ans <= d)
- ans += 21252;
- cout<<"Case "<<t++<<": the next triple peak occurs in "<<ans - d<<" days."<<endl;
- }
- return 0;
- }
普通的中国剩余定理要求所有的互素,那么如果不互素呢,怎么求解同余方程组?
这种情况就采用两两合并的思想,假设要合并如下两个方程
那么得到
在利用扩展欧几里得算法解出的最小正整数解,再带入
得到后合并为一个方程的结果为
这样一直合并下去,最终可以求得同余方程组的解。
题目:http://poj.org/problem?id=2891
代码:
- #include <iostream>
- #include <string.h>
- #include <stdio.h>
- using namespace std;
- typedef long long LL;
- const int N = 1005;
- LL a[N], m[N];
- LL gcd(LL a,LL b)
- {
- return b? gcd(b, a % b) : a;
- }
- void extend_Euclid(LL a, LL b, LL &x, LL &y)
- {
- if(b == 0)
- {
- x = 1;
- y = 0;
- return;
- }
- extend_Euclid(b, a % b, x, y);
- LL tmp = x;
- x = y;
- y = tmp - (a / b) * y;
- }
- LL Inv(LL a, LL b)
- {
- LL d = gcd(a, b);
- if(d != 1) return -1;
- LL x, y;
- extend_Euclid(a, b, x, y);
- return (x % b + b) % b;
- }
- bool merge(LL a1, LL m1, LL a2, LL m2, LL &a3, LL &m3)
- {
- LL d = gcd(m1, m2);
- LL c = a2 - a1;
- if(c % d) return false;
- c = (c % m2 + m2) % m2;
- m1 /= d;
- m2 /= d;
- c /= d;
- c *= Inv(m1, m2);
- c %= m2;
- c *= m1 * d;
- c += a1;
- m3 = m1 * m2 * d;
- a3 = (c % m3 + m3) % m3;
- return true;
- }
- LL CRT(LL a[], LL m[], int n)
- {
- LL a1 = a[1];
- LL m1 = m[1];
- for(int i=2; i<=n; i++)
- {
- LL a2 = a[i];
- LL m2 = m[i];
- LL m3, a3;
- if(!merge(a1, m1, a2, m2, a3, m3))
- return -1;
- a1 = a3;
- m1 = m3;
- }
- return (a1 % m1 + m1) % m1;
- }
- int main()
- {
- int n;
- while(scanf("%d",&n)!=EOF)
- {
- for(int i=1; i<=n; i++)
- scanf("%I64d%I64d",&m[i], &a[i]);
- LL ans = CRT(a, m, n);
- printf("%I64d\n",ans);
- }
- return 0;
- }
题目:http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1573
分析:这个题由于数据范围小,那么直接可以通过枚举在这个数的最小公倍数范围内的所有数,找到最小的正整
数解,然后后面的所有解都可以通过这个得到。
代码:
- #include <iostream>
- #include <string.h>
- #include <stdio.h>
- using namespace std;
- const int N = 25;
- int a[N], b[N];
- int gcd(int a, int b)
- {
- return b ? gcd(b, a % b) : a;
- }
- int main()
- {
- int T;
- cin>>T;
- while(T--)
- {
- int n, m;
- cin>>n>>m;
- for(int i=0; i<m; i++)
- cin>>a[i];
- for(int i=0; i<m; i++)
- cin>>b[i];
- int lcm = 1;
- for(int i=0; i<m; i++)
- lcm = lcm / gcd(lcm, a[i]) * a[i];
- bool f = 1;
- for(int i=1; i<=lcm&&i<=n; i++)
- {
- f = 1;
- for(int j=0; j<m; j++)
- {
- if(i % a[j] != b[j])
- f = 0;
- }
- if(f)
- {
- printf("%d\n",(n - i) / lcm + 1);
- break;
- }
- }
- if(f == 0)
- printf("0\n");
- }
- return 0;
- }