递推求值【快速幂矩阵】

递推求值

 

描述

给你一个递推公式：

f(x)=a*f(x-2)+b*f(x-1)+c

并给你f(1),f(2)的值，请求出f(n)的值，由于f(n)的值可能过大，求出f(n)对1000007取模后的值。

注意:-1对3取模后等于2

 

输入

第一行是一个整数T,表示测试数据的组数(T<=10000)
随后每行有六个整数，分别表示f(1),f(2),a,b,c,n的值。
其中0<=f(1),f(2)<100,-100<=a,b,c<=100,1<=n<=100000000 (10^9)

输出

输出f(n)对1000007取模后的值

样例输入

2
1 1 1 1 0 5
1 1 -1 -10 -100 3

样例输出

5
999896

【分析】由于n的值比较大，所以常规方法肯定会超时。根据递推式求第n个表达式的值时，通常用矩阵乘法来做。

本题要构造两个矩阵，其中一个为矩阵A，作为初始矩阵

f2  0   0
f1  0   0
1   0   0

//初始化矩阵arr 
memset(arr.mat, 0, sizeof(arr.mat));
arr.mat[0][0] = f2;  arr.mat[1][0] = f1;  arr.mat[2][0] = 1;

另一个为矩阵B

b   a   c
1   0   0
0   0   1

 //初始化矩阵tmp 
 tmp.mat[0][0] = b;   tmp.mat[0][1] = a;   tmp.mat[0][2] = c;
 tmp.mat[1][0] = tmp.mat[2][2] = 1;
 tmp.mat[1][1] = tmp.mat[1][2] = tmp.mat[2][0] = tmp.mat[2][1] = 0;

相乘后的结果为

f2*b+f1*a+1*c    f2*a+0+0        f2*c+0+0

f1*b+0+0           a*f+0+0          f1*c+0+0

c*1+0+0            1*a+0+0         1*c+0+0

(备注：任何矩阵与单位矩阵（n*n）相乘后，不改变原来矩阵的值)
因为F(2)和F(1)是已知的，当n>=3时，每次都乘以矩阵B，就能推出下一个矩阵。而矩阵的第一行第一列的元素就是所求的结果。

所以利用矩阵快速幂能够快速准确地求出结果。

 

AC代码：

#include<stdio.h>
#include<string.h>
#define mod 1000007
#define N 3
typedef long long LL;
struct Matrix
{
    LL mat[N][N];
};

Matrix unit_matrix =
{
    1, 0, 0,
    0, 1, 0,
    0, 0, 1
}; //单位矩阵

Matrix mul(Matrix a, Matrix b) //矩阵相乘
{
    Matrix res;
    for(int i = 0; i < N; i++)
        for(int j = 0; j < N; j++)
        {
            res.mat[i][j] = 0;
            for(int k = 0; k < N; k++)
            {
                res.mat[i][j] += a.mat[i][k] * b.mat[k][j];
                res.mat[i][j] %= mod;
            }
        }
    return res;
}

Matrix pow_matrix(Matrix a, LL n)//矩阵快速幂
{
    Matrix res = unit_matrix;
    while(n != 0)
    {
        if(n & 1)
            res = mul(res, a);
        a = mul(a, a);
        n >>= 1;
    }
    return res;
}

int main()
{
    LL n, f1, f2, a, b, c, T;
    Matrix tmp, arr;
    scanf("%lld",&T);
    while(T--)
    {
        scanf("%lld%lld%lld%lld%lld%lld",&f1, &f2, &a, &b, &c, &n);
        if(n == 1)
            printf("%lld\n",(f1+mod)%mod);
        else if(n == 2)
            printf("%lld\n",(f2+mod)%mod);
        else
        {
            //初始化矩阵arr 
            memset(arr.mat, 0, sizeof(arr.mat));
            arr.mat[0][0] = f2;  arr.mat[1][0] = f1;  arr.mat[2][0] = 1;
            //初始化矩阵tmp 
            tmp.mat[0][0] = b;   tmp.mat[0][1] = a;   tmp.mat[0][2] = c;
            tmp.mat[1][0] = tmp.mat[2][2] = 1;
            tmp.mat[1][1] = tmp.mat[1][2] = tmp.mat[2][0] = tmp.mat[2][1] = 0;
            
            Matrix p = pow_matrix(tmp, n-2);//相当于求tmp^(n-2)
            p = mul(p, arr);
            LL ans = (p.mat[0][0] + mod) % mod;
            printf("%lld\n",ans);
        }
    }
    return 0;
}