Fibonacci（求前四位数）

Fibonacci

Time Limit:1000MS     Memory Limit:32768KB     64bit IO Format:%I64d & %I64u

Description
2007年到来了。经过2006年一年的修炼，数学神童zouyu终于把0到100000000的Fibonacci数列 
(f[0]=0,f[1]=1;f[i] = f[i-1]+f[i-2](i>=2))的值全部给背了下来。 
接下来，CodeStar决定要考考他，于是每问他一个数字，他就要把答案说出来，不过有的数字太长了。所以规定超过4位的只要说出前4位就可以了，可是CodeStar自己又记不住。于是他决定编写一个程序来测验zouyu说的是否正确。

 

Input

输入若干数字n(0 <= n <= 100000000)，每个数字一行。读到文件尾。

 

Output

输出f[n]的前4个数字（若不足4个数字，就全部输出）。

 

Sample Input
0
1
2
3
4
5
35
36
37
38
39

40

 

Sample Output
0
1
1
2
3
5
9227
1493
2415
3908
6324

1023

 

【思路】

loga(b^c)=c*loga(b),loga(b*c)=loga(b)+loga(c);
假设给出一个数10234432,那么log10(10234432)=log10(1.0234432*10^7)=log10(1.0234432)+7;
log10(1.0234432)就是log10(10234432)的小数部分.
log10(1.0234432)=0.010063744
10^0.010063744=1.023443198
那么要取几位就很明显了吧~
先取对数(对10取),然后得到结果的小数部分bit,pow(10.0,bit)以后如果答案还是<1000那么就一直乘10。
注意偶先处理了0~20项是为了方便处理~

这题要利用到数列的公式:an=(1/√5) * [((1+√5)/2)^n-((1-√5)/2)^n](n=1,2,3.....)

 

取完对数

log10(an)=-0.5*log10(5.0)+((double)n)*log(f)/log(10.0)+log10(1-((1-√5)/(1+√5))^n)

其中f=(sqrt(5.0)+1.0)/2.0;
因为log10(1-((1-√5)/(1+√5))^n)趋近于0
所以可以写成log10(an)=-0.5*log10(5.0)+((double)n)*log(f)/log(10.0);
最后取其小数部分。

 

 AC代码：

#include<iostream>
#include<cmath>
#include<cstdio> 
using namespace std;
const double s = (sqrt(5.0)+1.0)/2;
int main()
{
    int n,i;
    double bit;
    int fib[21] = {0, 1};
    for(i = 2; i < 21; i++)//小于10000部分提前处理 
        fib[i] = fib[i-1] + fib[i-2];
    while(cin >> n)
    {
        if(n <= 20) 
        {  cout << fib[n] << endl;  continue; }
        else
        {
            bit = -0.5*log(5.0)/log(10.0)+((double)n)*log(s)/log(10.0);//调用公式 
            bit = bit - floor(bit);//取小数部分 
            bit = pow(10.0,bit); 
            while(bit < 1000)//要求四位,所以要将小数点右边的数移到左边直到符合要求 
                bit = 10.0 * bit; 
            cout << (int)bit << endl;    
        }
    }
    return 0;
}