大数分析（5）——BMS（两行）

前言

在稍微过了一遍反射和最基本的稳定之后，我们终于可以着手分析当今最前沿的两个记号了
不过BMS和Y序列其实都和PrSS和Hydra模式有关，进而也就是和树型模式有关
首先是Bashicu Matrix System，简称BMS

单行BMS

请参考PrSS，顺便可以复习一下，每一项少一即可

两行BMS

标准型是矩阵形式，但是这样不好写，所以一般按列写，之后的多行版本也是一样的

\[(a_{11}~a_{21})(a_{12}~a_{22})(a_{13}~a_{23})= \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \end{pmatrix}\]

原版BMS是一个输出数列的东西，我们一般使用序数分析，因此把它映射成序数
虽然似乎有问题（有地方不良定义了/可能不会停机），但是使用上不管
分析请参考这个
可视化参考这个

枚举-LVO之前

枚举是分析大数记号不可不品的一环，好在两行BMS的行为并不太复杂

\[(0,0)(1,1)=(0,0)(1,0)(2,0)...=(0)(1)(2)...=\epsilon_0\\ (0,0)(1,1)(0,0)=\epsilon_0+1\\ (0,0)(1,1)(0,0)(1,0)=(0,0)(1,1)(0,0)(0,0)...=\epsilon_0+\omega\\ (0,0)(1,1)(0,0)(1,0)(0,0)(1,0)=(0,0)(1,1)(0,0)(1,0)(0,0)(0,0)...=\epsilon_0+\omega2\\ (0,0)(1,1)(0,0)(1,1)=(0,0)(1,1)(0,0)(1,0)(2,0)...=\epsilon_02\\ (0,0)(1,1)(0,0)(1,1)(0,0)(1,1)=\epsilon_03\\ (0,0)(1,1)(1,0)=(0,0)(1,1)(0,0)(1,1)...=\epsilon_0\omega\\ (0,0)(1,1)(1,0)(1,0)=\epsilon_0\omega^2\\ (0,0)(1,1)(1,0)(2,0)=\epsilon_0\omega^\omega \]

让我们暂停一下
我在枚举的时候想要枚举\((0,0)(1,1)(1,0)(1,1)\)，却无从下手，于是找了个计算器算，发现是不标准的（
然后继续枚举

\[(0,0)(1,1)(1,0)(2,1)=(0,0)(1,1)(1,0)(2,0)(3,0)...=\epsilon_0^2\\ (0,0)(1,1)(1,0)(2,1)(1,0)(2,1)=\epsilon_0^3\\ (0,0)(1,1)(1,0)(2,1)(2,0)=\epsilon_0^\omega\\ \]

看到这里大概多少能明白一点了，阶差为0或者\((1,0)\)的简单情况下，要点就是看重复或者折叠多少内容，然后把它们包起来，最后按照阶差构造一个就好
往下不再写出重复内容，只把我认为必要的序数的坏部标红

\[(0,0)(1,1)\color{red}{(1,0)(2,1)(2,0)}(2,0)=\epsilon_0^{\omega^2}\\ (0,0)(1,1)(1,0)(2,1)(2,0)(3,0)=\epsilon_0^{\omega^\omega}\\ (0,0)(1,1)(1,0)(2,1)\color{red}{(2,0)}(3,1)=\epsilon_0^{\epsilon_0}\\ \color{red}{(0,0)(1,1)}(1,1)=\epsilon_1\\ (0,0)(1,1)(1,1)(1,1)=\epsilon_2\\ \color{red}{(0,0)(1,1)}(2,0)=\epsilon_\omega\\ \]

注意，插在中间的\((0,0)\)基本上可以无视，中间的\(+1\)全都会被淹没掉

\[(0,0)(1,1)(2,0)(1,1)(2,0)=\epsilon_{\omega2}\\ (0,0)(1,1)(2,0)(2,0)=\epsilon_{\omega^2}\\ (0,0)(1,1)(2,0)(3,0)=\epsilon_{\omega^\omega}\\ (0,0)(1,1)(2,0)(3,1)=\epsilon_{\epsilon_0}\\ (0,0)(1,1)(2,0)(3,1)(3,1)=\epsilon_{\epsilon_1}\\ \color{red}{(0,0)(1,1)}(2,1)=\zeta_0 \]

阶差终于提升到了\((2,0)\)，层级进一步复杂起来，好在我们还有可以标定的序数
重 走 长 征 路

\[(0,0)(1,1)(2,1)(1,1)=\epsilon_{\zeta_0+1}\\ (0,0)(1,1)(2,1)(1,1)(2,0)=\epsilon_{\zeta_0+\omega}\\ (0,0)(1,1)(2,1)(1,1)(2,0)(3,1)=\epsilon_{\zeta_0+\epsilon_0}\\ (0,0)(1,1)(2,1)(1,1)(2,0)(3,1)(4,1)=\epsilon_{\zeta_02}\\ \]

显著的层级现象

\[(0,0)(1,1)(2,1)(1,1)(2,1)=\zeta_1\\ (0,0)(1,1)(2,1)(1,1)(2,1)=\zeta_2\\ (0,0)(1,1)(2,1)(2,0)=\zeta_\omega\\ (0,0)(1,1)(2,1)(2,0)(3,1)=\zeta_{\epsilon_0}\\ (0,0)(1,1)(2,1)(2,0)(3,1)(4,1)=\zeta_{\zeta_0}\\ (0,0)(1,1)(2,1)(2,1)=\eta_0\\ (0,0)(1,1)(2,1)(2,1)(1,1)(2,1)(2,1)=\eta_1\\ (0,0)(1,1)(2,1)(2,1)(2,1)=\varphi(4,0)\\ (0,0)(1,1)(2,1)(3,0)=\varphi(\omega,0)\\ (0,0)(1,1)(2,1)(3,0)(2,0)=\varphi(\omega,\omega)\\ (0,0)(1,1)(2,1)(3,0)(2,0)(3,1)=\varphi(\omega,\epsilon_0)\\ (0,0)(1,1)(2,1)(3,0)(2,0)(3,1)(4,1)=\varphi(\omega,\zeta_0)\\ (0,0)(1,1)(2,1)(3,0)(2,0)(3,1)(4,1)(5,0)=\varphi(\omega,\varphi(\omega,0))\\ (0,0)(1,1)(2,1)(3,0)(2,1)=\varphi(\omega+1,0)\\ (0,0)(1,1)(2,1)(3,0)(4,1)=\varphi(\epsilon_0,0)\\ (0,0)(1,1)(2,1)(3,0)(4,1)(5,1)(6,0)=\varphi(\varphi(\omega,0),0)\\ (0,0)(1,1)(2,1)(3,1)=\varphi(1,0,0)\\ (0,0)(1,1)(2,1)(3,1)(2,1)(3,1)=\varphi(2,0,0)\\ \]

最底下两行之间的层级是非常复杂的，验证的时候可以回想一下\(\varphi\)的层级

\[(0,0)(1,1)(2,1)\color{red}{(3,1)}(4,0)=\varphi(1@\omega)\\ \color{red}{(0,0)(1,1)(2,1)(3,1)}(4,1)=\varphi(1@(1,0))\\ \]

速通\(SVO\)和\(LVO\)，这就是BMS伟力的一角

枚举-LVO之后

接下来我们使用OCF来标定，可以看到BMS的行为与Hydra非常相似
复习一下，上面那两个分别是

\[\psi(\Omega^{\Omega^\omega})=p0(p1(p1(p1(p0))))\\ \psi(\Omega^{\Omega^\Omega})=p0(p1(p1(p1(p1)))) \]

然后继续

\[(0,0)(1,1)(2,1)(3,1)(4,1)(1,1)=p0(p1(p1(p1(p1)))+p1)=\psi(\Omega^{\Omega^\Omega}+1)\\ (0,0)(1,1)(2,1)(3,1)(4,1)(1,1)(2,0)=p0(p1(p1(p1(p1)))+p1(p0))=\psi(\Omega^{\Omega^\Omega}+\omega)\\ (0,0)(1,1)(2,1)(3,1)(4,1)(1,1)(2,1)=p0(p1(p1(p1(p1)))+p1(p1))=\psi(\Omega^{\Omega^\Omega}+\Omega)\\ (0,0)(1,1)(2,1)(3,1)(4,1)(2,0)=p0(p1(p1(p1(p1)))+p0)=\psi(\Omega^{\Omega^\Omega}\omega)\\ (0,0)(1,1)(2,1)(3,1)(4,1)(2,1)=p0(p1(p1(p1(p1))+p1))=\psi(\Omega^{\Omega^\Omega+1})\\ (0,0)(1,1)(2,1)(3,1)(4,1)(3,1)=p0(p1(p1(p1(p1)+p1)))=\psi(\Omega^{\Omega^{\Omega+1}})\\ (0,0)(1,1)(2,1)(3,1)(4,1)(3,1)(4,1)=p0(p1(p1(p1(p1)+p1(p1))))=\psi(\Omega^{\Omega^{\Omega2}})\\ (0,0)(1,1)(2,1)(3,1)(4,1)(4,1)=p0(p1(p1(p1(p1+p1))))=\psi(\Omega^{\Omega^{\Omega^2}}) \]

最终我们抵达了\(\Omega\)指数塔的极限

\[(0,0)\color{red}{(1,1)}(2,2)=p0(p1(p2))=\psi(\Omega_2) \]

后面的规律基本类似，最终我们抵达两行BMS的极限

\[(0,0)(1,1)(2,2)(3,3)...=p0(p1(p2(p3(...))))=\psi(\Omega_\omega) \]

看上去和OCF没啥区别？
三行BMS开始上强度