大数进阶（3）——稳定（单段）

前言

接下来的稳定序数是真正的空白地带，其行为多种多样，层级复杂嵌套，并且还没有被完全解析

\(\Sigma_1\)稳定

定义

定义：
若\(L_\alpha\prec_{\Sigma_1}L_\beta\)，则称\(\alpha\)是\(\Sigma_1\)稳定(stable)序数，\(\alpha\)稳定到\(\beta\)，记为\(\lambda\alpha.\beta\)或者\(\alpha\rightarrow\beta\)
数理逻辑相关的之后再补上，现在先看成一个记号

枚举

首先是\(\lambda\alpha.\alpha\)，其后可以接反射序数表示高一阶的
具体的，\(\lambda\alpha.\alpha-\Pi_n=\Pi_{n+1}\)
看上去遇到\(\Pi_\omega\)就动不了了？
然后有规则，每当后面的反射序数到达\(\Pi_\omega\)时归零，前面进一
也就是\(\lambda\alpha.\alpha-\Pi_\omega=\lambda\alpha.(\alpha+1)-\Pi_0=\Pi_\omega\)
折叠规则和反射序数时一致，从而\(\lambda\alpha.(\alpha+1)-\Pi_1=\Pi_{\omega+1}\)
然后是

\[\lambda\alpha.(\alpha+1)-\Pi_\omega=\lambda\alpha.(\alpha+2)-\Pi_0=\Pi_{\omega2}\\ \lambda\alpha.(\alpha+\omega)-\Pi_0=\Pi_{\omega^2}\\ \lambda\alpha.(\alpha+\Omega)-\Pi_0=\Pi_{\Omega}\\ \lambda\alpha.(\alpha+\Pi_\omega)-\Pi_0=\Pi_{\Pi_\omega}\\ \]

然后开始套娃

\[\lambda\alpha.(\alpha+\lambda\alpha.(\alpha+1)-\Pi_0)-\Pi_0=\Pi_{\Pi_\omega}\\ \]

那么其左边不动点形为\(\beta\rightarrow\lambda\alpha.(\alpha+\beta)-\Pi_0\)，右侧形为\(\alpha\rightarrow\Pi_\alpha\)
我们记为\(\lambda\alpha.(\alpha+\alpha)-\Pi_0=\Pi_{(1,0)}\)
然后和反射序数时一样，我们可以取其容许点\(2~1-\)乃至\(2-2~1-,3~1-\)等等
然后往上得到\(2-,3-,...,\omega-\)
然后是对自身的反射\(X-X\)，和多层反射\(X-X-...-X\)
最终抵达

\[\lambda\alpha.(\alpha+\alpha)-\Pi_1=(\Pi_{(1,0)}-)^n \]

然后

\[\lambda\alpha.(\alpha2+1)-\Pi_0=\lambda\alpha.(\alpha2)-\Pi_\omega\\ \lambda\alpha.(\alpha2+\omega)-\Pi_0\\ \lambda\alpha.(\alpha2+\lambda\alpha.(\alpha2)-\Pi_0)-\Pi_0\\ \lambda\alpha.(\alpha3)-\Pi_0\\ \lambda\alpha.(\alpha\omega)-\Pi_0\\ \lambda\alpha.(\alpha^2)-\Pi_0\\ \]

同样的，\(\alpha^2\)处与加法时一样也是不动点，之后不再赘述

\[\lambda\alpha.(\alpha^3)-\Pi_0\\ \lambda\alpha.(\alpha^\omega)-\Pi_0\\ \lambda\alpha.(\alpha^\alpha)-\Pi_0\\ \lambda\alpha.(\epsilon_{\alpha+1})-\Pi_0\\ \]

这上面的旅程也可以类比成OCF，自然的，我们要引入递归运算碰不到的序数，即\(\alpha\)之后的下一个\(\Pi_2\)序数\(2~aft~\alpha=\Omega_{\alpha+1}\)

\[\lambda\alpha.(\Omega_{\alpha+1})-\Pi_1 \]

注意，由于稳定目标是容许序数，不能再以\(\Pi_0\)结尾
警告：从这里开始，容许序数和非递归序数的性质开始分歧，之后都是基于非递归序数的枚举
为什么？我不知道

\[\lambda\alpha.(\Omega_{\alpha+1}+1)-\Pi_0\\ \lambda\alpha.(\Omega_{\alpha+1}+\alpha)-\Pi_0\\ \lambda\alpha.(\Omega_{\alpha+1}+\epsilon_{\alpha+1})-\Pi_0\\ \lambda\alpha.(\Omega_{\alpha+1}2)-\Pi_0\\ \lambda\alpha.(\Omega_{\alpha+1}^2)-\Pi_0\\ \lambda\alpha.(\Omega_{\alpha+1}^{\Omega_{\alpha+1}})-\Pi_0\\ \lambda\alpha.(\epsilon_{\Omega_{\alpha+1}+1})-\Pi_0\\ \]

然后其递归运算的尽头

\[\lambda\alpha.(\Omega_{\alpha+2})-\Pi_1\\ \lambda\alpha.(\Omega_{\alpha+\omega})-\Pi_0\\ \]

上面这个可以看作是取\(1-\)得到的结果，自然可以把\(2~1-\)等等引入

\[(1-)^{(1,0)}2~aft~\alpha\\ 2~1-2~aft~\alpha\\ 2-2~1-2~aft~\alpha\\ 2-2~2~aft~\alpha\\ 3~2~aft~\alpha\\ 3~aft~\alpha \]

注意它们的后缀，\(3~aft~\alpha\)后面必须要接\(\Pi_2\)
那么其极限\(\omega~aft~\alpha\)后缀也是\(\Pi_\omega\)

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最后单段稳定的极限就是\(\alpha+1~th~\Pi_\omega\)，其中\(\alpha=\alpha~th~\Pi_\omega\)
因为再往上会出现停滞现象，即

\[\lambda.\alpha(\alpha+1~th~\omega)-\Pi_\omega=\lambda.\alpha((\alpha+1~th~\omega)+1)-\Pi_\omega \]

这一现象大致来源于后缀的\(\Pi_\omega\)不再能够进位，或者说进位之后剩下的后缀仍然是\(\Pi_\omega\)从而可以不断进位
这一问题需要引入多端稳定链解决