大数进阶（2）——反射（$\Pi_2$及其上）

前言

\(\Pi_1\)反射看上去行为非常简单，强度也不高，那为什么要用这种奇怪的东西？
真正上强度是从\(\Pi_2\)反射开始，随着强度的大幅度提升，序数的行为逐渐复杂，这需要对其行为更深刻的理解，也即对于数学基础的更高要求
在进入\(\Pi_2\)反射之前，需要更多的基础来往后推进，否则只会一头雾水
事实上本文还有许多作者没搞明白的地方，留待之后再修

容许

最原始的定义是从对KP集合论的研究引申出来的
定义：
若\(L_{\alpha}\models\mathbf{KP}\)，则称\(\alpha\)为容许序数(admissible)
然而这里并不打算展开KP集合论相关内容，证明论更是不会考虑
设全体容许序数集为\(Ad\)
定理:
\(\Pi_2\Leftrightarrow\alpha>\omega\wedge\alpha\in Ad\)
证明参考这个
可递归函数的上确界\(\omega_1^{CK}\)是最小的容许序数，在不牵涉递归语义时一般记为\(\Omega\)

\(\Pi_2\)反射

结合\(\Pi_1\)反射

\(\Pi_2\)反射序数集合为全体容许序数，从\(\Omega\)开始，为\(\{\Omega,\Omega_2,...\}\)
然后我们取其极限点\(1-2=\{\Omega_\omega,...\}\)
之后我们可以得到一系列序数，可以将其套进OCF里

\[(1-)^22=\Omega_{\omega^2}\\ (1-)^\omega2=\Omega_{\omega^\omega}\\ (1-)^{(2)}=\Omega_{\Omega} \]

但是出现了问题：\(\Omega_\omega\)并不是容许序数！为什么？
下证\(\Omega_\omega\)不是\(\Pi_2\)的
引理:
\(\alpha\in Ad\Leftrightarrow\alpha\models\varphi\)，其中\(\varphi\)为一个\(L_{\in}\)内的\(\Pi^{0-}_{3}\)语句
证明略
从而我们可以构造一条\(\Pi_2\)语句\(\varphi:\forall\alpha\exists\beta,\beta\in\Pi_2\wedge\beta>\alpha\)
从而有\(L_{\Omega_\omega}\models\varphi\)但是不存在比\(\Omega_\omega\)更小的序数能反射（为什么？因为\(\alpha\)能取到上确界）
通过超限归纳，将\(\Pi_2\)换成小一点的集合，可以证明\(\min(1-)^\alpha2\)等等全都不是\(\Pi_2\)的

取交集与I的引入，\(\varphi\)模式的记录

那么我们该怎么迈出下一步？我们可以取其交集
记\(2\cap~1-2=2~1-2\)，从而\(\min 2~1-2\)代表着\(\Omega_\alpha\)的容许点（行为类似于不动点），也是第一个递归不可达序数\(I\)，其存在性需用公理保证（从\(\omega\)开始所有基数的存在性都需要对应的大基数公理保证）
然后\(2~aft~2~1-2\)为\(I\)后的第一个容许序数，我们记其为\(\Omega_{I+1}\)，类似于\(\zeta_0\)和\(\epsilon_{\zeta_0+1}\)的行为
从而

\[I=\Omega_{I}=2~1-2\\ \Omega_{I+\omega}=1-(2~aft~2~1-2)\\ \Omega_{I+\Omega}=(1-)^{(2)}(2~aft~2~1-2)\\ \Omega_{I+I}=(1-)^{(2~1-2)}(2~aft~2~1-2)\\ \]

其中上标处的括号表示的是序数，例如\((2)=I\)
那么\(1-2~1-2\)呢？此处显然是\(1-(2~1-2)=\{I_\omega,...\}\)，基本上是从右往左读
看到这个\(\omega\)就要小心了，同样的，可以构造出\(\Pi_2\)公式证明\(I_\omega\)不是\(\Pi_2\)反射的
因此我们可以继续取交集\(2~1-2~1-2=(2~1-)^22\)，一般的，我们可以使用\((2~1-)\)这一操作记录容许点，类似于不动点
因此得到\(2~1-2~1-2\)满足\(\alpha=I_\alpha\)
我们可以仿照Veblen\(\varphi\)函数造一个\(I\)函数暂时记录
从而

\[(2~1-)^22=I(1,0)\\ 1-(2~1-)^22=I(1,\omega)\\ \]

那么按照这个思路一路下来有\(2~1-(2~1-)^22=(2~1-)^32=I(2,0)\)
然而问题来了，按照\(\varphi\)模式，\(I(2,0)\)记录\(I(1,\alpha)\)的不动点，也即满足
\(I(2,0)=I(1,I(2,0))\)，上面这个满足吗？
我们试着用反射序数表示右边：

\[(1-)^{(2~1-2)}(2~1-)^22=I(1,I)\\ (1-)^{((2~1-)^22)}(2~1-)^22=I(1,I(1,0))\\ (1-)^{(1,0)}(2~1-)^22=I(1,I(1,...)) \]

这是一个不动点，然而稍微想一下就会发现：这个不动点是通过递归方法得到的，而容许序数都是递归不可达的，这两个会相等吗？显然不会

真伪之辩

\(\Pi_2\)的复杂行为，除了无数的层级之外，便集中体现于“真伪”，（递归）不动点与（非递归）容许点之间
作为一个经典的例子，让我们考虑\((2~1-)^\omega2\)
对极限序数的经典处理方法让我们想到\(\sup(2~1-)^n2\)
然而由于其是一个满足反射性质的集合，更为本质的处理方法则是取交集\(\cap(2~1-)^n2\)
我们记第一种为\(pseudo.\)，\(psd.\)或者\(p.\)，伪序数；而第二种为\(real.\)或者\(r.\)，真序数
为什么？从定义的角度出发，我们认为第二种是真序数，那么第一种的区别在于哪里呢？
我不知道，先咕着
直接说结论：参考这个
定理：

\[p.(2~1-)^\omega2=\cap1-(2~1-)^n2\\ r.(2~1-)^\omega2=2~1-p.(2~1-)^\omega2\]

从而可以记\(r.(2~1-)^\omega2=(2~1-)^{\omega+1}2\)，这也是许多证明论序数下标+1的根本原因

\(\Pi_2\)反射与\(M\)的引入

我们先来把上面的\(\varphi\)扩展好

\[(2~1-)^{(1,0)}2=I(I(...,0),0)=psd.I(1,0,0)\\ (2~1-)^22~aft~(2~1-)^{(1,0)}2=I(1,psd.I(1,0,0)+1)\\ (2~1-)^\omega2~aft~(2~1-)^{(1,0)}2=I(\omega,psd.I(1,0,0)+1)\\ (2~1-)^{(1,0)}2~aft~(2~1-)^{(1,0)}2=I(I(...,psd.I(1,0,0)+1),psd.I(1,0,0)+1)\\ =2nd~(2~1-)^{(1,0)}2 \]

注意到\(\alpha th~(2~1-)^{(1,0)}2\)同样是满足不动点性质的，因此取其容许即得

\[2~1-(2~1-)^{(1,0)}2=(2~1-)^{(1,1)}2=real.I(1,0,0) \]

仿照\(\varphi\)模式，可以到达\(I(1@\omega),I((1,0))\)等等，这里略去

---

再往上，在OCF时我们引入了\(\Omega\)，这里我们则需要引入递归马洛序数(recrussive Mahlo ordinal)\(M\)来继续攀爬
我们终于迎来了\(\Pi_2\)反射
记\(M=2-2\)
然后我们稍微枚举一下

\[2~aft~2-2=\Omega_{M+1}\\ 1-(2~aft~2-2)=\Omega_{M+\omega}\\ (1-)^{(1,0)}(2~aft~2-2)=\Omega_{M+...}\\ 2~1-2~aft~2-2=I_{M+1}\\ (2~1-)^22~aft~2-2=I(1,M+1)\\ 2-2~aft~2-2=M_2\\ 1-2-2=M_\omega\\ (1-)^{(2)}2-2=M_\Omega\\ (1-)^{(2-2)}2-2=M_M\\ \]

然后是\(M\)的容许点\(\alpha\rightarrow M_\alpha\)，进一步的模仿\(\varphi\)模式和\(I\)

\[2~1-2-2=M(1,0)\\ (2~1-)^{(1,1)}=r.M(1,0,0)\\ \]

同样的，从\((1-)\)不动点到\((2~1-)\)容许点，fix point的层级进一步提高，我们引入\(2-2\cap1-\)不动点，真正的进入\(M\)函数
注意分号和逗号标示两个层级的fix point

\[2-2~1-2-2=M(1;0)\\ 1-(2-2~1-2-2)=M(1;\omega)\\ 2~1-(2-2~1-2-2)=M(1;1,0)\\ (2-2~1-)^\omega2-2=M(\omega;0)\\ (2-2~1-)^{(1,1)}2-2=M(1;0;0) \]

然后我们引入nonconvertible ordinal \(N=2-2-2\)，fix point的层级也提升到\(2-2-2\cap1-\)
之后在\(N\)函数里引入三层分隔符便可形成同样的行为
之后我们依然可以引入\(2-2-2-2\)乃至更多层的反射序数

---

\(2-X\)会折叠掉\((X~1-)^nX\)
更一般的，通过类似PrSS的方法可以展开序数，其正确性猜想和反射序数的树状结构有关
先将其倒过来，然后如果可以展开则不补，否则在开头补最小的数字，展开，然后倒回来，把\(\cap,-\)补上
例子：

\[2-2~1-2-2\rightarrow2~2~1~2~2\rightarrow2~2~1~2~1~2~1...\rightarrow(2~1-)^n(2-2) \]

参考

---

最后，\(\Pi_2\)的极限\((2-)^\omega\)，也存在真伪序数，其细节可参考这个

\(\Pi_3\)反射及其后

反射模式的两个重点复杂层级和真伪序数在\(\Pi_2\)中都已体现，在更高级的反射中没有新的现象
称\(\Pi_3=K\)为递归弱紧致序数(recrussive weak compact cardinal)
这里也是曾经Rathjen所分析的前沿地带\(\psi(\epsilon_{K+1})\)
反射序数枚举表，仅供参考
在其上有着\(psd.\Pi_\omega\)和\(real.\Pi_\omega\)，固然可以继续套不动点，但反射序数还是就告一段落吧
之后我们需要进入数理逻辑的更深层，开始接触稳定序数，抵达真正的前沿