大数进阶（1）——反射（$\Pi_1$）

一点吐槽

序数分析（Ordinal Analysis）这一脉实际上是从证明论衍生出来的，因此去找文献通常会找到各种证明某一公理系统强度的文献，并没有系统的综述
踏入序数之后，几乎没有统一记号，需要在各人的记号中切换，加之数理逻辑本身就需要一堆新记号，可谓是乱七八糟，有一种踏入前沿的美（确实即使从Godel算起也才差不多100年，真正开始更是只有60年左右）
现代的研究者，最著名的大约便是前代的Michael Rathjen和当代的Arai Toshiyasu，可以先从这两位的文献找起，然后INDUCTIVE DEFINITIONS AND REFLECTING PROPERTIES OF ADMISSIBLE ORDINALS也是不错的选择

反射

一些不知所谓的前置知识

命\(On\)为全体序数集，命\(L\)为一个足够大的逻辑语言，该语言有结构（structure）\(\Re(A)=\{(a,b)\in A\times A|a\in b\}\)，也即关系符号（relation symbol）只有\(\{\in\}\)的子语言
命\(P(A)\)为\(A\)的幂集
我们称一个算子（operator）或者inductive definition，定义为\(\Gamma:P(\omega)\rightarrow P(\omega)\)
这一算子的定义域和值域都为\(\omega\)的某个子集，对极限序数的计算满足\(\Gamma^\lambda=\cup\{\Gamma(\Gamma^\alpha):\alpha<\lambda\}\)
记该算子的closure ordinal \(|\Gamma|=\lambda\)为满足\(\Gamma^{\lambda+1}=\Gamma^{\lambda}\)最小的\(\lambda\)
若算子的幂满足单调性（monotone），我们称该算子（monotone inductive definition）定义的集合\(\Gamma\rightarrow\Gamma^{\infin}=\Gamma^{|\Gamma|}=\bigcap\{X:\Gamma(X)\subseteq X\}\)

公式的层次结构

Kleene arithmetical hierarchy

这会有所帮助

另一个这里指出，二阶逻辑所定义的算术层级上我们可以讨论有理数和\(\Pi^1_n\)公式；三阶逻辑所定义的自然层级上，承认连续统则可以讨论实数和\(\Pi^2_n\)公式

一些例子

Levy hierarchy

上面的简化版本
定义：
不含无界量词（unbounded qualifier）的一阶逻辑语句为\(\Sigma_0,\Pi_0,\Delta_0\)的
若\(\varphi\)是\(\Pi_n\)的，那么\(\exists x_i\varphi\)是\(\Sigma_{n+1}\)的
若\(\varphi\)是\(\Sigma_n\)的，那么\(\forall x_i\varphi\)是\(\Pi_{n+1}\)的

定义：
若是对某公式\(\varphi(x_i)\)，\(\Re\)内存在\(a_i\)使得\(\varphi\)为真，那么记\(\Re\models \varphi\)，表示\(\varphi\)在\(\Re\)内为真，或说\(\Re\)是\(\varphi\)的模型
如果算子\(\Gamma\)能被一个系统内的\(\Pi^n_m\)公式（formula）表示，那么我们称其为\(\Pi^n_m\)的，同理有\(\Sigma^n_m\)和\(\Delta^n_m\)

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引理：\(|\Pi^0_0|=|\Sigma^0_1|=\omega\)
证明：\(\Pi^0_0\)命题的形式只有\(\{x\in A\}\)，其中\(x\)是通过后继定义的自然数，全体命题自然只有\(\omega\)个

反射原理

定义：集合论宇宙\(V\)
通过超限归纳法，记\(V_0=\emptyset,V_{\alpha+1}=P(V_\alpha),V_\alpha=\cup_{\beta<\alpha}V_\beta\)
最后\(V=\cup_{\alpha\in On}V_\alpha\)
定理：ZF上的反射原理（reflection principle）
对任意公式\(\varphi\)，存在\(\alpha\)使得\(V\models\varphi\Leftrightarrow V_{\alpha}\models\varphi\)
虽然非常重要但是我似乎看不出这是干什么用的

反射序数

定义：
命\(\alpha\in On,X\subseteq On\)，\(\varphi\)是\(L\)内的公式
若\(\alpha\models\varphi\Rightarrow\ (\exist\beta\in X\cap\alpha)\beta\models\varphi\)
那么称\(\alpha\)将\(\varphi\)反射（reflect）到\(X\)上，当\(X\)为\(On\)时可以省略，称\(\alpha\)将\(\varphi\)反射，或是更直接的，\(\alpha\)反射\(\varphi\)

如果\(\alpha\)反射\(L\)内一切的\(\Pi^n_m\)语句（到\(X\)上），那么称\(\alpha\)是\(\Pi^n_m-indescriable\)（on X）

引理：\(\Pi^0_0-indescriable\Leftrightarrow\Sigma^0_2-indescriable\Leftrightarrow\alpha=\sup(X\cap\alpha)\)

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定义：
命\(R(\alpha)=\cup_{\beta<\alpha}P(R(\beta))\)
若\(R(\alpha)\models\varphi\Rightarrow\ (\exist\beta\in X\cap\alpha)R(\beta)\models\varphi\)
那么称\(R(\alpha)\)反射\(\varphi\)，称\(\alpha\)为\(strong~indescriable\)

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定义：
给定模型\(\Re\)，若存在公式\(\varphi\)使得\(X=\{x\in A| \Re\models\varphi(x,a_i)\}\)，则称集合\(X\)在模型\(\Re\)上是可定义的(defineable)
命\(def(A)=\{X\subset A:x~is~defineable~over~\Re\}\)

显然有\(A\in def(A)\)，\(A\subset def(A)\subset P(A)\)
定义：通过超限归纳法，记\(L_0=\emptyset,L_{\alpha+1}=def(L_\alpha),L_\alpha=\cup_{\beta<\alpha}L_\beta\)
最终我们得到可构造宇宙（constructible universe）\(L=\cup_{\alpha\in On}L_\alpha\)
集合论的终极大饼就是证明集合论宇宙\(V\)加上ZF后等于\(L\)，也即所有可定义的集合都是可构造的

引理：对于序数\(\alpha\)，有\(\alpha\subset L_\alpha\)，且\(L_\alpha\cap On=\alpha\)
证明：使用超限归纳法，即证\(\alpha\in L_{\alpha+1}=def(L_\alpha)\)
\(\alpha=\{x\in L_\alpha:x~is~an~ordinal\}\)是显然的，从而有\(\alpha=\{x\in L_\alpha:L_\alpha\models x~is~an~ordinal\}\)

引理：对于任意\(\alpha\geq\omega\)，\(|L_\alpha|=\alpha\)
证明略

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然后我们终于来到了反射序数的定义
定义：若\(L_\alpha\models\varphi\Rightarrow\ (\exist\beta\in X\cap\alpha)L_\beta\models\varphi\)，那么称\(L_\alpha\)反射\(\varphi\)
定义：如果\(L_\alpha\)反射了（\(L\)上）所有的\(\Pi^n_m\)语句，那么称\(\alpha\)为\(\Pi^n_m\) reflecting，也即\(\Pi^n_m\)反射序数
以下会在不引起歧义的情况下，将\(\Pi^n_m\)reflecting简写为\(\Pi^n_m\)
引理：
\(\Pi^0_0\Leftrightarrow\Pi^0_1\Leftrightarrow\alpha=\sup(X\cap\alpha)\)
\(\Pi^0_n\Leftrightarrow\Sigma^0_{n+1}\)
在反射序数的阶段，我们通常只考虑\(\Pi^0_n\)和\(\Sigma^0_n\)型的，从而由引理可以只考虑\(\Pi^0_n\)，一般将其简写为\(\Pi_n\)
此处只证明最重要的极限点性质\(\Pi_1\Leftrightarrow\alpha=\sup(X\cap\alpha)\)，或是说\(\alpha\)在\(X\)内无界，或者说\(\alpha\)在\(X\)上是极限序数
充分性：\(\forall a<\alpha\)，给定\(\Sigma_1\)公式\(\varphi:\exists x(x=a)\)，则由\(\alpha\)是\(\Pi_1\)反射序数，存在\(\beta<\alpha\)使得\(L_\beta\models\varphi\)
必要性：任意在\(L_alpha\)内的\(\Pi_1\)公式，可以对其真值指派一族变量，其值必有上界，不妨设\(x_i<\beta\)，由无界性必有\(\beta<\alpha\)，从而\(\alpha\)是\(\Pi_1\)的

\(\Pi_1\)反射

承接上文，我们知道\(\Pi_1\)的行为可以用极限点描述
我们有全体序数集合\(\{1,2,...\omega,...,\epsilon_0,...,\Omega,...\}\)
我们对其分组，将每\(\omega\)个的的极限提出来形成一个新集合\(\{\omega,\omega2,...\}\)
这就是全体\(\Pi_1\)反射序数构成的集合
我们称其第一个序数，或是最小的序数，称为\(\Pi_1\)反射序数
有时省略掉反射记号而将\(\Pi_\alpha\)简写为\(\alpha\)
当我们在\(\Pi_1\)上再次取极限点的时候会发生什么？

满足要求的序数集合形如\(\alpha=\sup\{\Pi_1\cap\alpha\}\)
直觉上我们仿照之前的，可以得到\(\{\omega^2,\omega^22,...\}\)，但是这是正确的吗？
显然上面那个集合的元素都满足条件，之后我们考虑被剔除的序数，例如\(\omega3\)
注意到\(X\cap\alpha=\{\beta<\alpha|\beta\in X\}\)
那么\(\sup\{\Pi_1\cap\omega3\}=\sup\{\omega,\omega2\}=\omega2\neq\omega3\)，从而我们的结论是正确的

我们再对\(\Pi_1\)取一次\(\Pi_1\)反射之后，得到\(\{\omega^2,\omega^22,...\}\)
我们称其为\(\Pi_1~onto~\Pi_1\)，简写为\(1-1\)
如此我们可以取\(n\)次得到\(1-1-...-1\)，缩写为\((1-)^n\)
从而有\((1-)^\omega=(1-)^{(1)}=\omega^\omega\)
然后我们有其不动点\((1,0)=(1-)^{(1,0)}=\epsilon_0\)

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通常我们只关心第一个序数，但有时我们也想取任意项，这时我们用\(i~th\)来取
例如\(2th~1\)代表\(\Pi_1\)反射的第二项，也就是\(\omega2\)
然后min表示最小项，通常省略，例如\(\min 1-1=\omega^2\)
然后是\(n~after~\alpha\)表示\(\alpha\)后的下一个\(\Pi_n\)序数，如\(1~aft~\omega2=\omega3\)

但是这套表示法太难看了，用函数写却也不好写（