大数进阶（0）——前言与概要

基于OCF，我们迈入序数与基数之路，登神长阶
我们进入不可计算的领域，需要的则是底层的集合论与数理逻辑
学术界对于序数分析(Ordinal Analysis)的研究起源于证明论序数(Proof Theory Ordinal)，由此诞生的则是前沿的目标大饼，离我们最近的也许是\(PTO(Z_2)\)，不过这个对数理逻辑要求太高，我大概是不会讲的（似乎Toshiyasu Arai解析了\(Z_2\)，发了一篇在arxiv上，然而我去看了下发现结论都看不懂，而且似乎还没完成）
证明论的历史

不保证本文内容可靠性
以下内容需要假定读者至少有数理逻辑的知识
你可能会看到：乱七八糟的记号，意义不明的定理，略去证明的推论，显然可得的结论，此处应有梗图

递归

我们之前的所有操作，不管是取后继，取极限（取上界），还是取不动点，终究只是在递归(recrussion)
因此我们可以定义一个非递归序数\(\Omega\)，它满足不可递归性：对任意非递归序数，都不可能从\(\alpha<\Omega\)经过\(\alpha\)次操作达到\(\Omega\)
或是说\(\Omega\)是全体可以经过少于\(\Omega\)次操作构造出来的数的上界
那么最小的非递归序数就是从0出发，不可能经过小于\(\Omega_0\)次操作到达\(\Omega_0\)
我们在\(OCF\)中使用的一般是这个或是这个的弱化版\(\omega^{CK}\)
然后我们可以从\(\Omega_0\)出发得到\(\Omega_\alpha=\sup \Omega_{\beta<\alpha}\)
注意\(\Omega_\alpha\)并不一定是非递归序数，例如\(\Omega_\omega\)可以经过\(\omega\)次取极限得到

你问是否循环定义或者是否存在？
严格来说需要考虑公理系统，但这里还是回答
我 不 知 道

我们定义\((1,0)\)为某个函数的一阶第一个不动点，例如\(\text{LVO}=\varphi(1@(1,0))\)（通过这种方法\(\varphi\)可以叠到\(\text{BO}\)，不过继续就偏题了
然后我们把\(\Omega_{\alpha}\)也可以看成一个函数，其不动点\(\Omega_{(1,0)}=\Omega_{\Omega_{(1,0)}}\)

反射

反射(reflect)来源于数理逻辑
我们定义\(L_\alpha\models\varphi\Rightarrow\exist\beta\in(X\cap\alpha)L_\beta\models\varphi\)
其中\(L_\alpha\models\varphi\)表示在\(L_\alpha\)中可以见证(model)\(\varphi\)为真
但是这不是重点

---

然后我们有Levy Hierarchy
如果\(\varphi\)等价于一条一阶逻辑中没有未约束量词的公式，那么我们称\(\varphi\)是\(\Sigma_0\)和\(\Pi_0\)的
如果\(\varphi\)等价于\(\exist x_0\exist x_1...\exist x_k\psi\)，其中\(\psi\)是\(\Sigma_n\)的，那么\(\varphi\)是\(\Pi_{n+1}\)的
如果\(\varphi\)等价于\(\forall x_0\forall x_1...\forall x_k\psi\)，其中\(\psi\)是\(\Pi_n\)的，那么\(\varphi\)是\(\Sigma_{n+1}\)的
如果一个公式既是\(\Sigma_n\)又是\(\Pi_n\)，我们称其为\(\Delta_n\)的，可能会在某些\(\text{PTO}\)中见到这个
然后我们可以证明，\(\Pi_n=\Sigma_{n+1}\)，证明略，因此我们之后都会使用\(\Pi\)

---

最后我们来定义反射序数(Reflecting Ordinal)
若\(L_\alpha\)在\(X\)上反射所有\(\Pi_n\)公式，则称\(\alpha\)为\(X\)上的\(\Pi_n\)反射序数
一个结论是\(\Pi_1\)反射序数等同于\(\alpha\)可以从对\(X\)取极限点得到，或者说\(\alpha=\sup\{\alpha\cap X\}\)

容许

容许(admissible)也是一个来源于数理逻辑的概念
我们定义：若\(L_\alpha\models KP\)，则称\(\alpha\)为容许序数
其中\(KP\)为\(\text{Kripke-Platek Set theory}\)
\(\omega^{CK}\)为最小的容许序数
容许序数和非递归序数的行为在后期才会出现分歧，前期一般不加区别

稳定

这位更是重量级（
等我踏上了稳定序数再来更吧

一些乱七八糟的定理

主要是列举一些在基础（指本科《数理逻辑》）之外的数理逻辑定理
没有证明，也没有前后文

---

定理(良序集基本定理)：
若\((W_1,<),(W_2,<)\)为良序集，则下列三项必恰有一个成立：
\(W_1,W_2\)同构，或\(W_1\)与\(W_2\)前段同构，或\(W_2\)与\(W_1\)前段同构
直观的，放在自然数中，意思即为两自然数或相等，或一个比另一个小
定义：
若集合T的元素都是其子集，则称T为传递的
定义：
若\(\alpha\)是传递的且\(\in\)是\(\alpha\)上的良序，则称\(\alpha\)为序数，并定义\(\alpha\in\beta\rightarrow\alpha<\beta\)
该\(<\)关系满足传递性，反对称性，三歧性，且是良序
作为序数的\(N\)记为\(\omega\)
定义：
\(\alpha\)的后继为\(\alpha+1=\alpha^+\)
若存在\(\beta\)使得\(\alpha=\beta+1\)，则称\(\alpha\)为后继序数，否则称其为极限序数
引理：
\(\{\beta|\beta<\alpha\wedge\beta\in On\}=\alpha\)
即\(\alpha\)的所有元素都是序数
定理：
每一良序集同构于唯一的一个序数
因此可以有定义：
一良序集\((X,R)\)的序型是与其同构的唯一序数，记为\(type(X,R)\)或简写为\(type(X)\)
定义（良基集合well founded）：
\(V_0=\emptyset,V_{\alpha+1}=P(V_{\alpha}),V_{\alpha}=\cup_{\beta<\alpha}V_{\beta}\)
\(WF=\cup V_{\alpha}\)

---

定义：对任意\(\beta\)
\(\beta+0=\beta\)
\(\beta+(\alpha+1)=(\beta+\alpha)+1\)
\(\beta+\alpha=\sup\{\beta+\gamma|\gamma<\alpha\}\)
定理：
\((W_1\cup W_2,<_1+<_2)\)与\(\alpha_1+\alpha_2\)同构
乘法和乘法可以依次用超限归纳定义出来

---

选择公理等价的良序原理告诉我们，任何集合都可良序化，从而存在唯一序数与其同构
从而，每一集合存在至少一个序数与其等势
定义：
集合\(A\)的基数\(|A|\)为与其等势且最小的序数
从而，一个序数若为基数，当且仅当不存在比它小的序数与其等势
定理：以下条件等价
\(\alpha\)是基数；\(|\alpha|=\alpha\)；
若\(\beta<\alpha\)，则\(\beta<|\alpha|\)；若\(\beta<\alpha\)，则\(|\beta|<|\alpha|\)；若\(\beta<\alpha\)，则\(|\beta|\neq|\alpha|\)

---

定义：
设\(A\subset\alpha\)，若满足\(\forall\gamma<\alpha\exists\zeta\in A,\gamma\leq\zeta\)，则称\(A\)在\(\alpha\)中无界
对任意序数\(\alpha\)，记其共尾\(cf(\alpha)\)是满足以下性质的最小序数\(\beta\)
存在映射\(f:\beta\rightarrow\alpha\)使得\(f\)的值域在\(\alpha\)中无界
称这种映射为共尾映射
称\(cf(\alpha)=\alpha\)的序数为正则序数，否则为奇异序数
命题：
\(cf(\alpha)\leq\alpha\)
\(cf(cf(\alpha))=cf(\alpha)\)
后继序数\(\alpha\)的共尾\(cf(\alpha)=1\)
极限序数\(\alpha\)的共尾\(cf(\alpha)\geq\omega\)
定理：
任意无穷基数的后继是正则的
定义：
弱不可达基数：正则的极限基数
强不可达基数：对任意\(\lambda<\kappa\)，有\(w^\lambda<\kappa\)的弱不可达基数

---

基数幂运算需要用到共尾，但是有点小多，先咕着

---

定义：若\(F\in P(S)\)满足
\(S\in F,\emptyset\notin F\)
\(X,Y\in F\rightarrow X\cap Y\in F\)
\(X\in F\wedge X\subseteq Y\subseteq S\rightarrow Y\in F\)
则称\(F\)为\(S\)上的滤(filter)
若额外满足对任意\(X\subseteq S\)，或者\(X\in F\)，或者\(S-X\in F\)，则称\(F\)为超滤
命题：超滤等价于极大滤，即不存在\(F'\)使得\(F\subseteq F'\)
定义：
设\(\alpha\)为极限序数，若其子集\(C\subseteq\alpha\)满足：
\(\sup C=\alpha\)，即无界
任意\(\gamma<\alpha\)，\(\gamma=\sup(C\cap\gamma)\rightarrow\gamma\in C\)，即闭集
则称\(C\)是\(\alpha\)上的无界闭集
定义：
对任意\(cf(\alpha)\geq\omega\)，
\(F(\alpha)=\{X\subseteq\alpha|\exists C\subseteq X\wedge C是\alpha的无界闭集\}\)
称为\(\alpha\)上的无界闭滤
定义：
若\(S\subseteq\alpha\)满足对任意\(\alpha\)的无界闭集\(C\)都有\(S\cap C\neq\emptyset\)，则称\(S\)是\(\alpha\)上的平稳集（stationary set）
引理：
设\(cf(\alpha)\geq\omega\)
无界闭集都是平稳集
平稳集都是无界的，存在不是平稳集的无界子集
命题：
设\(cf(\alpha)\geq\omega\)，\(\lambda<cf(\alpha)\)是正则的
则\(\{\beta<\alpha|cf(\beta)=\lambda\}\)是\(\alpha\)上的平稳集
一些当成作业自证的命题：
若\(\kappa\)是不可达基数，则\(\{\lambda<\kappa|\lambda是强极限基数\}\)是\(\kappa\)上的无界闭集
若\(\kappa\)是第\(\alpha\)个不可达基数，\(\alpha<\kappa\)，则\(\{\lambda<\kappa|\lambda是正则基数\}\)不是\(\kappa\)上的平稳集
若\(\kappa\)是不可达基数且\(\{\lambda<\kappa|\lambda是正则基数\}\)是\(\kappa\)上的平稳集，则称\(\kappa\)为马洛基数(Mahlo cardinal)，此时\(\{\lambda<\kappa|\lambda是不可达基数\}\)是\(\kappa\)上的平稳集，因此\(\kappa\)是第\(\kappa\)个不可达基数
若\(\kappa\)为最小的在\(\{\lambda是第\lambda个不可达基数\}\)内的基数，则其不是马洛基数
若\(\kappa\)是马洛基数，则\(\{\lambda是第\lambda个不可达基数\}\)在\(\kappa\)中无界

---

集合论宇宙，层垒谱系等内容太难了，咕咕咕
证明论？咕