大数进阶（0）——前言与概要

基于OCF，我们迈入序数与基数之路，登神长阶
我们进入不可计算的领域，需要的则是底层的集合论与数理逻辑
学术界对于序数分析(Ordinal Analysis)的研究起源于证明论序数(Proof Theory Ordinal)，由此诞生的则是前沿的目标大饼，离我们最近的也许是$PTO(Z_2)$，不过这个对数理逻辑要求太高，我大概是不会讲的（似乎Toshiyasu Arai解析了$Z_2$，发了一篇在arxiv上，然而我去看了下发现结论都看不懂，而且似乎还没完成）
证明论的历史

不保证本文内容可靠性
以下内容需要假定读者至少有数理逻辑的知识
你可能会看到：乱七八糟的记号，意义不明的定理，略去证明的推论，显然可得的结论，此处应有梗图

递归

我们之前的所有操作，不管是取后继，取极限（取上界），还是取不动点，终究只是在递归(recrussion)
因此我们可以定义一个非递归序数$\Omega$，它满足不可递归性：对任意非递归序数，都不可能从$\alpha<\Omega$经过$\alpha$次操作达到$\Omega$
或是说$\Omega$是全体可以经过少于$\Omega$次操作构造出来的数的上界
那么最小的非递归序数就是从0出发，不可能经过小于$\Omega_0$次操作到达$\Omega_0$
我们在$OCF$中使用的一般是这个或是这个的弱化版$\omega^{CK}$
然后我们可以从$\Omega_0$出发得到$\Omega_\alpha=\sup \Omega_{\beta<\alpha}$
注意$\Omega_\alpha$并不一定是非递归序数，例如$\Omega_\omega$可以经过$\omega$次取极限得到

你问是否循环定义或者是否存在？
严格来说需要考虑公理系统，但这里还是回答
我 不 知 道

我们定义$(1,0)$为某个函数的一阶第一个不动点，例如$\text{LVO}=\varphi(1@(1,0))$（通过这种方法$\varphi$可以叠到$\text{BO}$，不过继续就偏题了
然后我们把$\Omega_{\alpha}$也可以看成一个函数，其不动点$\Omega_{(1,0)}=\Omega_{\Omega_{(1,0)}}$

反射

反射(reflect)来源于数理逻辑
我们定义$L_\alpha\models\varphi\Rightarrow\exist\beta\in(X\cap\alpha)L_\beta\models\varphi$
其中$L_\alpha\models\varphi$表示在$L_\alpha$中可以见证(model)$\varphi$为真
但是这不是重点

---

然后我们有Levy Hierarchy
如果$\varphi$等价于一条一阶逻辑中没有未约束量词的公式，那么我们称$\varphi$是$\Sigma_0$和$\Pi_0$的
如果$\varphi$等价于$\exist x_0\exist x_1...\exist x_k\psi$，其中$\psi$是$\Sigma_n$的，那么$\varphi$是$\Pi_{n+1}$的
如果$\varphi$等价于$\forall x_0\forall x_1...\forall x_k\psi$，其中$\psi$是$\Pi_n$的，那么$\varphi$是$\Sigma_{n+1}$的
如果一个公式既是$\Sigma_n$又是$\Pi_n$，我们称其为$\Delta_n$的，可能会在某些$\text{PTO}$中见到这个
然后我们可以证明，$\Pi_n=\Sigma_{n+1}$，证明略，因此我们之后都会使用$\Pi$

---

最后我们来定义反射序数(Reflecting Ordinal)
若$L_\alpha$在$X$上反射所有$\Pi_n$公式，则称$\alpha$为$X$上的$\Pi_n$反射序数
一个结论是$\Pi_1$反射序数等同于$\alpha$可以从对$X$取极限点得到，或者说$\alpha=\sup\{\alpha\cap X\}$

容许

容许(admissible)也是一个来源于数理逻辑的概念
我们定义：若$L_\alpha\models KP$，则称$\alpha$为容许序数
其中$KP$为$\text{Kripke-Platek Set theory}$
$\omega^{CK}$为最小的容许序数
容许序数和非递归序数的行为在后期才会出现分歧，前期一般不加区别

稳定

这位更是重量级（
等我踏上了稳定序数再来更吧

一些乱七八糟的定理

主要是列举一些在基础（指本科《数理逻辑》）之外的数理逻辑定理
没有证明，也没有前后文

---

定理(良序集基本定理)：
若$(W_1,<),(W_2,<)$为良序集，则下列三项必恰有一个成立：
$W_1,W_2$同构，或$W_1$与$W_2$前段同构，或$W_2$与$W_1$前段同构
直观的，放在自然数中，意思即为两自然数或相等，或一个比另一个小
定义：
若集合T的元素都是其子集，则称T为传递的
定义：
若$\alpha$是传递的且$\in$是$\alpha$上的良序，则称$\alpha$为序数，并定义$\alpha\in\beta\rightarrow\alpha<\beta$
该$<$关系满足传递性，反对称性，三歧性，且是良序
作为序数的$N$记为$\omega$
定义：
$\alpha$的后继为$\alpha+1=\alpha^+$
若存在$\beta$使得$\alpha=\beta+1$，则称$\alpha$为后继序数，否则称其为极限序数
引理：
$\{\beta|\beta<\alpha\wedge\beta\in On\}=\alpha$
即$\alpha$的所有元素都是序数
定理：
每一良序集同构于唯一的一个序数
因此可以有定义：
一良序集$(X,R)$的序型是与其同构的唯一序数，记为$type(X,R)$或简写为$type(X)$
定义（良基集合well founded）：
$V_0=\emptyset,V_{\alpha+1}=P(V_{\alpha}),V_{\alpha}=\cup_{\beta<\alpha}V_{\beta}$
$WF=\cup V_{\alpha}$

---

定义：对任意$\beta$
$\beta+0=\beta$
$\beta+(\alpha+1)=(\beta+\alpha)+1$
$\beta+\alpha=\sup\{\beta+\gamma|\gamma<\alpha\}$
定理：
$(W_1\cup W_2,<_1+<_2)$与$\alpha_1+\alpha_2$同构
乘法和乘法可以依次用超限归纳定义出来

---

选择公理等价的良序原理告诉我们，任何集合都可良序化，从而存在唯一序数与其同构
从而，每一集合存在至少一个序数与其等势
定义：
集合$A$的基数$|A|$为与其等势且最小的序数
从而，一个序数若为基数，当且仅当不存在比它小的序数与其等势
定理：以下条件等价
$\alpha$是基数；$|\alpha|=\alpha$；
若$\beta<\alpha$，则$\beta<|\alpha|$；若$\beta<\alpha$，则$|\beta|<|\alpha|$；若$\beta<\alpha$，则$|\beta|\neq|\alpha|$

---

定义：
设$A\subset\alpha$，若满足$\forall\gamma<\alpha\exists\zeta\in A,\gamma\leq\zeta$，则称$A$在$\alpha$中无界
对任意序数$\alpha$，记其共尾$cf(\alpha)$是满足以下性质的最小序数$\beta$
存在映射$f:\beta\rightarrow\alpha$使得$f$的值域在$\alpha$中无界
称这种映射为共尾映射
称$cf(\alpha)=\alpha$的序数为正则序数，否则为奇异序数
命题：
$cf(\alpha)\leq\alpha$
$cf(cf(\alpha))=cf(\alpha)$
后继序数$\alpha$的共尾$cf(\alpha)=1$
极限序数$\alpha$的共尾$cf(\alpha)\geq\omega$
定理：
任意无穷基数的后继是正则的
定义：
弱不可达基数：正则的极限基数
强不可达基数：对任意$\lambda<\kappa$，有$w^\lambda<\kappa$的弱不可达基数

---

基数幂运算需要用到共尾，但是有点小多，先咕着

---

定义：若$F\in P(S)$满足
$S\in F,\emptyset\notin F$
$X,Y\in F\rightarrow X\cap Y\in F$
$X\in F\wedge X\subseteq Y\subseteq S\rightarrow Y\in F$
则称$F$为$S$上的滤(filter)
若额外满足对任意$X\subseteq S$，或者$X\in F$，或者$S-X\in F$，则称$F$为超滤
命题：超滤等价于极大滤，即不存在$F'$使得$F\subseteq F'$
定义：
设$\alpha$为极限序数，若其子集$C\subseteq\alpha$满足：
$\sup C=\alpha$，即无界
任意$\gamma<\alpha$，$\gamma=\sup(C\cap\gamma)\rightarrow\gamma\in C$，即闭集
则称$C$是$\alpha$上的无界闭集
定义：
对任意$cf(\alpha)\geq\omega$，
$F(\alpha)=\{X\subseteq\alpha|\exists C\subseteq X\wedge C是\alpha的无界闭集\}$
称为$\alpha$上的无界闭滤
定义：
若$S\subseteq\alpha$满足对任意$\alpha$的无界闭集$C$都有$S\cap C\neq\emptyset$，则称$S$是$\alpha$上的平稳集（stationary set）
引理：
设$cf(\alpha)\geq\omega$
无界闭集都是平稳集
平稳集都是无界的，存在不是平稳集的无界子集
命题：
设$cf(\alpha)\geq\omega$，$\lambda<cf(\alpha)$是正则的
则$\{\beta<\alpha|cf(\beta)=\lambda\}$是$\alpha$上的平稳集
一些当成作业自证的命题：
若$\kappa$是不可达基数，则$\{\lambda<\kappa|\lambda是强极限基数\}$是$\kappa$上的无界闭集
若$\kappa$是第$\alpha$个不可达基数，$\alpha<\kappa$，则$\{\lambda<\kappa|\lambda是正则基数\}$不是$\kappa$上的平稳集
若$\kappa$是不可达基数且$\{\lambda<\kappa|\lambda是正则基数\}$是$\kappa$上的平稳集，则称$\kappa$为马洛基数(Mahlo cardinal)，此时$\{\lambda<\kappa|\lambda是不可达基数\}$是$\kappa$上的平稳集，因此$\kappa$是第$\kappa$个不可达基数
若$\kappa$为最小的在$\{\lambda是第\lambda个不可达基数\}$内的基数，则其不是马洛基数
若$\kappa$是马洛基数，则$\{\lambda是第\lambda个不可达基数\}$在$\kappa$中无界

---

集合论宇宙，层垒谱系等内容太难了，咕咕咕
证明论？咕