大数分析（4）——Hydra模式

与PrSS并列的基础之二，仔细看可以看到OCF和PrSS
wiki上似乎没有一个很好的材料，所以我就结合各个地方的理解一下

Hydra模式

在折叠的时候，我们可以重新定义一个记号来折叠掉前一部分，比如
\(\psi(\psi_1(0))=\psi(\psi_0(\psi_0(...)))\)
我们记

\[p_1(0)=\omega\\ p_1(\alpha+1)=p_1(\alpha)\omega\]

那么其极限\(p_1(p_1(...))=\epsilon_0\)
我们考虑把它折叠掉，记内层为\(p_2(0)\)，即\(p_1(p_2(0))=\epsilon_0\)
然后是

\[p_1(p_2(0)+1)=\epsilon_0\omega=\omega^{\epsilon_0+1}\\ p_1(p_2(0)+p_1(0))=\omega^{\epsilon_0+\omega}\\ p_1(p_2(0)+p_1(p_2(0)))=\omega^{\epsilon_02}\\\]

我们考虑怎么把展开规则推广

\[p_k(0)=1\\ p_k(n)=p_k(n-1)+p_k(n-1)+... \]

我们一般省去\((0)\)
我们需要用到一个通称找层的操作，我们找到最内层的最后一个\(p_n\)，然后向外层找到第一个\(p_{n-1}\)，然后复制中间的
两个例子：

\[p_1(p_2(p_3+p_2))=p_1(p_2(p_3+p_1(p_2(p_3+p_1(p_2(p_3+...))))))\\ p_1(p_2(p_3)+p_2(p_3+p_2))=p_1(p_2(p_3)+p_2(p_3+p_1(p_2(p_3)+p_2(p_3+...))))) \]

看上去似乎很丑，其实还行，毕竟这是没折叠的
然后我们算几个

\[\begin{split} p_1(p_2)&=p_1(p_1(...))=\epsilon_0\\ p_1(p_2(p_1(p_2)))&=\epsilon_{\epsilon_0}\\ p_1(p_2(p_2))&=p_1(p_2(p_1(p_2(...))))=\zeta_0\\ p_1(p_2(p_2)2)&=p_1(p_2(p_2)+p_2(p_1(p_2(p_2)+p_2(...))))=\zeta_1\\ p_1(p_2(p_2+1))&=p_1(p_2(p_2)\omega)=\zeta_\omega\\ p_1(p_2(p_2(p_1(p_2(p_2)))))&=p_1(p_2(p_2(\zeta_0)))=\eta_0\\ p_1(p_2(p_2(p_1)))&=p_1(p_2(p_2(p_1(...))))=\varphi(\omega,0)\\ p_1(p_2(p_2(p_2)))&=\Gamma_0\\ p_1(p_2(p_2(p_2(p_1))))&=\text{SVO}\\ p_1(p_2(p_2(p_2(p_2))))&=\text{LVO}\\ p_1(p_2(p_3))&=p_1(p_2(p_2(...)))=\text{BHO} \end{split}\]

最后其极限

\[p_1(p_2(p_3(p_4(...))))=\text{BO} \]