大数分析（3）——PrSS

又是一个典中典的记号，不过这个缩写是怎么回事（
Primitive Sequence(PrSS)

我们记一串原始序列(PrSS)为\(S=(S_0,S_1,...)\)，它将一个数字映射为另一个数字
最简单的，空序列，\(()[n]=n\)
然后我们定义坏部(bad part)和好部(good part)
对于最后一个数\(S_k\)，我们往前找到第一个\(r\)满足\(S_r<S_k\)，通常称\(r\)为坏根(bad root)
然后我们记坏部为\(b=(S_r,...,S_{k-1})\)，好部为\(g=(S_0,...,S_{r-1})\)
对于不存在\(r\)的情况则记\(r=k\)，从而坏部为\(()\)，好部为\((S_0,...,S_{k-1})\)
最后我们展开\(S[n]=(g,b,...,b)[n^2]\)，其中\(b\)复制\(n^2\)次
一个例子：

\[\begin{split} (0,1,3,2,1,3)[2]&=(0,1,3,2,1,3,2,1,3,2,1,3,2,1,3)[4] \end{split}\]

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可是这看上去怎么能停机？答案是就是不会（
思想上有点类似于集合论定义的自然数，这里是把原始序列看作序数，作用相当于FGH加上这个序数
看作序数的话我们不能引入\(n\)，于是我们令\(n\)趋于无穷，从而相当于复制坏部无穷次
然后这种情况下我们定义规范的PrSS

\[a_1=1\\ a_{k+1}\leq a_k+1 \]

许多情况下我们会碰到不规范的（比如上面那个例子），不过看上去也能展开，一般也能转换为规范型，只是需要注意
我们来算几个例子，注意后继相当于在最后补一个\(1\)

\[\begin{split} 0&=()\\ 1&=(1)\\ 2&=(1,1)\\ \omega&=(1,1,...,1)=(1,2)\\ \omega+1&=(1,2,1)\\ \omega2&=(1,2,1,1,...)=(1,2,1,2)\\ \omega2+1&=(1,2,1,2,1)\\ \omega^2&=(1,2,1,2,1,2,...)=(1,2,2)\\ \omega^2+\omega+1&=(1,2,2,1,2,1) \end{split}\]

一些简单的规律：\(+\omega\)就在最后加\((1,2)\)，\(*\omega\)就在最后加\((2)\)
然后继续

\[\begin{split} \omega^\omega&=(1,2,2,...,2)=(1,2,3)\\ \omega^{\omega+1}&=(1,2,3,2)\\ \omega^{\omega2}&=(1,2,3,2,2,...,2)=(1,2,3,2,3) \end{split}\]

对于一串\((a)\)，我们可以用\((a,a+1)\)来折叠；对于一串\((a,a+1)\)，我们可以用\((a+1,a+1)\)折叠；这就可以套娃了

\[\begin{split} \omega^{\omega^2}&=(1,2,3,2,3,...,2,3)=(1,2,3,3)\\ \omega^{\omega^\omega}&=(1,2,3,3,...,3)=(1,2,3,4) \end{split}\]

最终我们达到PrSS的极限

\[\epsilon_0=\sup\{\omega,\omega^\omega,\omega^{\omega^\omega},...\}=(1,2,3,4,5,6,...) \]

对比之前讲过的平平无奇是吧（
但是把它加到多行可以构造出BMS；引入阶差序列可以构造出Y—序列；这两个是目前理论前沿的标尺，类似于更高阶的FGH的地位