上一章中我们定义的序数到\(LVO\)就打止了，原则上我们可以用迭代继续往上，但是会显得很丑，所以我们引入不可达基数与序数坍缩函数(Ordinal Collapsing Function)来定义更大的基数
OCF
还没学明白，可能有锅
引入
我们之前有提到过，通过\((0,1),(+,×)\)所定义的闭包，我们也能够得到\(\epsilon_0\)，下面我们尝试拓展
主流版本有几种，我会在写的时候标出来，不过大差不差就是了
BOCF
Buchholz's OCF
定义：
\[C_v^0(\alpha)=\Omega_v\\
C_v^{n+1}(\alpha)=C_v^n(\alpha)\cup\{\gamma|P(\gamma)\in C_v^n(\alpha)\}\cup\{\psi_\mu(\xi)|\xi\in\alpha\cap C_v^n(\alpha)\wedge\xi\in C_\mu(\xi)\wedge\mu\leq\omega\}\\
C_v(\alpha)=\cup_{n<\omega}C_v^n(\alpha)\\
\psi_v(\alpha)=\min(\gamma|\gamma\notin C_v(\alpha))
\]
其中
\[\Omega_0=1\\
\Omega_v=\aleph_v\\
P=\{\alpha|\forall \xi,\eta<\alpha\rightarrow\xi+\eta<\alpha\}=\{\omega^\xi|\xi\in\text{On}\}
\]
第二条是什么东西？那个P函数又是什么东西？
P函数是把additively principal ordinals加起来，但是我看不懂，所以直接认为是加法（
第一条告诉我们，\(C_v^0(\alpha)=\aleph_v=\{\beta|\beta<\aleph_v\}\)
第二条告诉我们，\(C_v^{n+1}(\alpha)\)除了前一项之外，还加入了可以从前一项的\(P\)函数中得到的序数，和把所有前一项中小于\(\alpha\)的序数扔到\(\psi_{\mu<\omega}\)中得到的序数
从而第三条告诉我们，\(C_v(\alpha)\)是从所有小于\(\aleph_v\)的序数，经过加法(P)和\(\psi\)这两个作用所能得到的所有序数
第四条定义了\(\psi\)是最小的且不属于\(C_v(\alpha)\)的序数，从而可以不断扩展
由于\(\psi(\alpha)\)相当于把\(\alpha\)转化为了另一个序数，我们称\(\psi\)为一个OCF
然后我们试着算一下
\[\begin{split}
C_0^0(0)=\{\beta|\beta<1\}=\{0\}\\
C_0(0)=\{0\}\\
\psi_0(0)=1\\
C_0(1)=\{0,1,2,...\}\\
\psi_0(1)=\omega\\
C_0(2)=\{0,1,2,...,\omega,...,\omega2,...,\omega n,...\}\\
\psi_0(2)=\omega^2\\
C_0(\omega)=\{0,1,...,\omega,...,\omega^n,...\}\\
\psi_0(\omega)=\omega^\omega\\
\psi_0(\epsilon_0)=\epsilon_0\\
\psi_0(\epsilon_0+1)=\epsilon_0
\end{split}\]
这里需要思考一下为什么\(\epsilon_0+1\)跳不出不动点
注意\(\alpha\)只影响加法的范围，那么加任意小于\(\epsilon_0\)的序数实际上都不会影响到\(\omega\)的幂次
我们令\(\psi_0(\Omega)=\epsilon_0\)，其中\(\Omega\)是最小的非递归基数
然后继续
\[\begin{split}
C_0(\Omega+1)=\{0,1,...,\omega,...,\psi_0(\Omega)=\epsilon_0 ,...,\epsilon_0 n,...,\}\\
\psi_0(\Omega+1)=\epsilon_0\omega=\omega^{\epsilon_0+1}\\
\psi_0(\Omega+\omega)=\omega^{\epsilon_0+\omega}=\epsilon_0^{\epsilon_0}\\
\psi_0(\Omega+\Omega)=\psi_0(\Omega2)=\epsilon_1\\
\psi_0(\Omega^\Omega)=\Gamma_0\\
\psi_0(\Omega^{\Omega^\Omega})=\text{LVO}
\end{split}\]
上面的我还不太清楚为什么
然后是\(\psi_1(0)=\Omega_1\)，最小的不可数基数，以下简记为\(\Omega\)
\[C_1(1)=\{0,...,\omega,...,\psi_1(0)=\Omega\,...,\Omega+\Omega,...\}\\
\psi_1(1)=\Omega\omega=\omega^{\Omega+1}\\
\psi_1(\psi_0(\Omega))=\omega^{\Omega+\epsilon_0}\\
\psi_1(\psi_1(0))=\psi_1(\Omega)=\Omega^2=\omega^{\Omega+\Omega}\\
\psi_1(\psi_1(\psi_1(0)))=\omega^{\Omega+\omega^{\Omega+\Omega}}=\omega^{\Omega\Omega}=\Omega^\Omega\\\]
更不清楚为什么了（
然后我们可以把\(\Omega\)隐去，例如
\[\psi_0(\psi_1(\psi_1(\psi_1(\psi_1(0)))))=\text{LVO}
\]
MOCF
Madore's Function
BOCF的简单版，但是没有良好的以基本列为基础的定义，会出一点问题
\[C_0(\alpha)=\{0,1,\omega,\Omega\}\\
C_{n+1}(\alpha)=\{\gamma+\zeta,\gamma×\zeta,\gamma^\zeta|\gamma,\zeta\in C_n(\alpha)\} \cup \{\psi(\xi)|\xi\cap C_n(\alpha)\wedge\xi< \alpha \} \\
C(\alpha)=\cup_{n<\omega}C_n(\alpha)\\
\psi(\alpha)=\min\{\beta<\Omega|\beta\notin C(\alpha)\}
\]
其中\(\Omega\)是最小的不可数基数(uncountable ordinal)
看起来简单多了，一眼就能看懂
一般的，\(\psi_M(\alpha)=\psi_B(\Omega\alpha)\)，证明不会，但是用这个结论可以从MOCF反推BOCF
然后稍微算一下
\[C(0)=\{0,1,\omega,\Omega,...,\omega^{\omega},...,\Omega\omega,...,\Omega^{\Omega},...\}\\
\psi(0)=\epsilon_0\\
\]
然后由于\(\psi(0)=\epsilon_0\)，我们将其加入\(C(1)\)的闭包中
\[C(1)=C(0)\cup\{\epsilon_0\omega,...,\epsilon^\epsilon,...\}\\
\psi(1)=\epsilon_1\\
\psi_(\omega)=\epsilon_\omega\\
\psi_(\psi(0))=\epsilon_{\epsilon_0}\\
C(\zeta_0)=\{\epsilon_0,\epsilon_{\epsilon_0},...,\Omega,...\}\\
\psi(\zeta_0)=\zeta_0\\\]
我们遇到了不动点，试着加一来跳出不动点
\[C(\zeta_0+1)=\{\epsilon_0,...,\Omega,...\}\\
\psi(\zeta_0+1)=\zeta_0\]
我们发现由于不动点，\(\psi\)不能再向闭包内添加新元素了
由归纳法易知，\(\psi(\zeta_0+\omega)=\zeta_0,\psi(\zeta_0+\zeta_0)=\zeta_0,\psi(\eta_0)=\zeta_0\)，一个简单的理解方法是所有高级运算和极限序数，都是基于加法的
从而我们有如下结论
\[\psi(\alpha)=\zeta_0~if~\zeta_0\leq \alpha<\Omega
\]
我们发现还没用到过\(\Omega\)，那么我们定义\(\psi(\Omega)=\zeta_0=\epsilon_{\zeta_0}\)
\[C(\Omega+1)=\{\epsilon_0,...,\psi(\Omega)=\zeta_0,...,\Omega....\}\\
\psi(\Omega+1)=\zeta_0^{\zeta_0^{...}}=\epsilon_{\zeta_0+1}\\
\]
我们跳出不动点了
\[\psi(\Omega+\epsilon_{\zeta_0+1})=\epsilon_{\epsilon_{\zeta_0+1}}\\
\psi(\Omega+\zeta_1)=\epsilon_{\zeta_1}=\zeta_1\]
我们又来到了一个不动点，不过我们已经知道怎么跳了：令\(\psi(\Omega+\Omega)=\psi(\Omega2)=\zeta_1\)即可
\[\psi(\Omega2+1)=\epsilon_{\zeta_1+1}
\]
然后我们跨过无数个不动点
\[\psi(\Omega\omega)=\epsilon_{\zeta_\omega}=\zeta_\omega\\
\psi(\Omega\zeta_0)=\zeta_{\zeta_0}\]
最终达到下一阶的不动点
\[\psi(\Omega\eta_0)=\eta_0
\]
升阶？那就把加法提升为乘法罢
我们定义\(\psi(\Omega\Omega)=\psi(\Omega^2)=\eta_0\)
然后继续推
\[\psi(\Omega^2+1)=\epsilon_{\eta_0+1}\\
\psi(\Omega^2+\zeta_{\eta_0+1})=\epsilon_{\zeta_{\eta_0+1}}=\zeta_{\eta_0+1}\\
\psi(\Omega^2+\Omega)=\zeta_{\eta_0+1}\\
\psi(\Omega^2+\Omega+1)=\epsilon_{\zeta_{\eta_0+1}+1}\\
\psi(\Omega^2+\Omega\eta_1)=\eta_1\\
\psi(\Omega^22)=\eta_1\\
\]
然后我们可以换成Veblen\(\varphi\)
一般的，我们有
\[\psi(\Omega^{a-2}\varphi(a,b))=\psi(\Omega^{a-1}(1+b))=\varphi(a,b)
\]
然后
\[\psi(\Omega^\omega)=\varphi(\omega,0)\\
\psi(\Omega^{\varphi(1,0)})=\varphi(\varphi(1,0),0)\\
\psi(\Omega^{\varphi(1,0,0)})=\varphi(1,0,0)
\]
通过提升不动点的阶数，我们最后将乘法提升为乘方，到达的是
\[\psi(\Omega^\Omega)=\varphi(1,0,0)
\]
然后继续推
\[\psi(\Omega^\Omega+1)=\varphi(1,\varphi(1,0,0)+1)\\
\psi(\Omega^\Omega+\Omega)=\varphi(2,\varphi(1,0,0)+1)\\
\psi(\Omega^\Omega+\Omega2)=\varphi(2,\varphi(1,0,0)+2)\\
\psi(\Omega^\Omega+\Omega^{\varphi(1,0)})=\varphi(\varphi(1,0),\varphi(1,0,0)+1)\\
\psi(\Omega^\Omega2)=\varphi(1,0,1)\\
\psi(\Omega^\Omega\Omega)=\psi(\Omega^{\Omega+1})=\varphi(1,1,0)\\
\psi(\Omega^{\Omega2})=\varphi(2,0,0)
\]
仔细思考一下，然后
\[\psi(\Omega^{\Omega^2})=\varphi(1,0,0,0)\\
\psi(\Omega^{\Omega^3})=\varphi(1,0,0,0,0)\\
\psi(\Omega^{\Omega^\omega})=\text{SVO}\\
\psi(\Omega^{\Omega^\varphi(1,0)})=\varphi(1@(\varphi(1,0)))\\
\]
然后\(LVO\)这个是很难的，需要仔细想想这里的不动点折叠了什么
可以把\(\omega\)看成是取上界，而\(\Omega\)折叠不动点，我们把LVO的定义写出来,然后换掉一边
\[\psi(\Omega^{\Omega^\text{LVO}})=\varphi(1@\varphi(\text{LVO}))=\text{LVO}\\
\psi(\Omega^{\Omega^\Omega})=\text{LVO}
\]
在越过\(\text{LVO}\)这一大山之后，我们又能用加法跳出不动点了（为什么？）
\[\psi(\Omega^{\Omega^\Omega}+1)=\epsilon_{\text{LVO}+1}
\]
最终我们达到MOCF和BOCF共同的极限
\[\text{Bachmann Howard Ordinal}\\
\sup\{\psi(\Omega),\psi(\Omega^\Omega),\psi(\Omega^{\Omega^\Omega}),...\}\\
\psi(\epsilon_{\Omega+1})=\psi_0(\Omega_2)
\]
回到BOCF
我们在上面的BOCF中只讲了引入\(\Omega_1\)的情况，所以在我们穷尽了其它方法之后，我们可以引入\(\Omega_2\)，从而达到下一个极限,同样是指数塔上界，记为\(\psi_0(\epsilon_{\Omega_2+1})\)
我们最后达到的极限是
\[\text{Bucholz Ordinal}\\
\psi(\Omega_\omega)=\sup\{\psi(\Omega_0),\psi(\Omega_1),...\}\\
\text{Taketui-Feferman Bucholz Ordinal}\\
\psi(\epsilon_{\Omega_\omega+1})=\sup\{\psi(\Omega_\omega),\psi(\Omega_\omega^{\Omega_\omega}),...\}
\]
和
\[\text{Extended Bucholz Ordinal}\\
\psi(\Omega_{\Omega_{...}})=\sup\{\psi(\Omega_1),\psi(\Omega_\Omega),...\}
\]
之后我们会引入更高级的序数来解释这几个极限
