大数分析（2）——BAN

写在前面：本分析相当于习题，不保证正确性（虽然我会去对一下）

定义

鸟之记号 BAN

基础版——线性数阵

请参看BEAF篇，完全一样

\[\begin{split} (a,b)&=a^b\\ (a,1,...)&=a\\ (a,b,1,...,1,c,...)&=(a,a,...,a,(a,b-1,1,...,1,c,...),c-1,...)\\ (a,b,c,...)&=(a,(a,b-1,c,...),c-1,...) \end{split}\]

进阶版——多维矩阵与分隔符的引入

与BEAF中的\(\&\)类似，记\([]\)为分隔符，\(\langle \rangle\)为矩阵运算符，规则一样

\[\begin{split} a<0>b=a\\ a<c>1=a\\ a<c>b=a<c-1>b[c]a<c>(b-1) \end{split}\]

一般的，\(a<c>b\)表示的是\(b^c\)个\(a\)相连
然后是

\[\begin{split} ([m]1[n])=([m][n])=([n])~if~m<n\\ (a,b[m_1][m_2]...[m_x]c...)=(a<m_1-1>b[m1]...<m_x-1>b[m_x](c-1)...)\\ \end{split}\]

注意行末的1可以增删
我们试着展开一下

\[\begin{split} (3,2,2[2]2)&=(3,(3,1,2[2]2),1[2]2)=(3,3[2]2)\\&=(3<1>3[2]1)=(3<1>3)\\&=(3,3,3)\\ \end{split}\]

多维矩阵的增长率最高可以到\(\omega^{\omega^\omega}\)

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然后我们可以定义多层分隔符

\[\begin{split} a\langle 0,1,...,1,c,...\rangle b=a\langle b,...,b,c-1\rangle b\\ a\langle 0[x_1...]1[x_2...1]...[x_n...]c...\rangle b=a\langle b\langle x_1-1...\rangle b[x_1...]...(c-1)\rangle b \end{split}\]

试着展开一下

\[\begin{split} (3,2,2[1,2]2)&=(3,(3,1,2[1,2]2),1[1,2]2)=(3,3[1,2]2)\\&=(3<0,2>3[1,2]1)=(3<0,2>3)\\&=(3<3,1>3)=(3<3>3) \end{split}\]

这样的增长率终于到了\(\epsilon_0\)

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之后的斜杠分隔符先咕了
数阵迭代是有极限的，所以我不玩数阵了！