大数入门（2）——扩展的基本列与多元Veblen函数

对序数的初步扩展

扩展——指数不动点

进一步的，我们可以考虑\(\omega^{\omega^{\omega^{...}}}\)
仿照\(\omega\)的定义，我们定义\(\epsilon_0=\sup\{\omega,\omega^\omega,\omega^{\omega^\omega},...\}\)
另一种较为深刻的理解方式是：\(\epsilon_0\)是\(\alpha\rightarrow\omega^\alpha\)的第一个指数不动点，这引导向迭代序数
另一种更为深刻解释是我们考虑\(0,1\)和\(+,×\)两个运算形成的闭包，从而\(\epsilon_0\)是第一个不在闭包内的序数，这是开启非迭代序数的路径，然而这是更为后面的内容了

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我们考虑加法运算的不动点，对任意序数\(\alpha\)，\(\alpha+\alpha\omega=\alpha\omega\),从而\(\alpha\omega\)是一族加法不动点
同理我们考虑乘法运算的不动点，对任意序数\(\alpha\)，\(\alpha*\alpha^\omega=\alpha^\omega\)，从而\(\alpha^\omega\)是一族乘法不动点
严格证明？

此处有一个非常重要的问题：为什么不能套用n级运算，而是仅仅定义到指数（乘方）不动点？
一个简单的答案：因为上界被折叠到了\(\omega\)中，如果想要继续折叠需要定义第四级运算，然而我们目前并不知道第四级运算的表达式，也不需要知道
然而这并不是本质原因（

理由
省流版：对任意\(\beta>\omega\)，有\(\alpha^\beta=\alpha^\omega\)

这是序数在迭代上一个非常重要的性质，从\(\epsilon_0\)之后，
我们不再考虑使用超运算来迭代（转而使用下标迭代）
一般不再考虑基本列（或者说有无穷多种基本列）

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总之可以继续叠了，但是我们发现\(\omega^{\epsilon_0}=\epsilon_0\)，不能这样叠
但是我们知道后继序数必然大于原序数，于是我们再回归之前用加法叠，有\(\epsilon_0+1>\epsilon_0\)
从而继续\(\epsilon_1=\sup\{\omega^{\epsilon_0+1},\omega^{\omega^{\epsilon_0+1}},...\}\)
如此我们就可以产生一族不动点
这一基本列可以改写成比较好看点的形式：\(\{\epsilon_0,\epsilon_0^{\epsilon_0},...\}\)
你说为什么相等？留 做 习 题 答案

继续叠到\(\epsilon_{\omega}=\sup\{\epsilon_0,\epsilon_1,...\}\)
然后引入后继迭代\(\epsilon_{\alpha+1}=\epsilon_\alpha^{\epsilon_{\alpha+1}}\)和极限迭代\(\epsilon_\alpha=\sup\{\epsilon_\lambda|\lambda\in\alpha\}\)，然后我们可以从\(\epsilon_\omega\)叠到\(\epsilon_{\epsilon_0}\),\(\epsilon_{\epsilon_{\epsilon_{...}}}\)
下一级不动点\(\zeta_{0}=\sup\{\epsilon_0,\epsilon_\epsilon,\epsilon_{\epsilon_\epsilon},...\}\)，不动点迭代规则相同
再下一级\(\eta_{0}=\sup\{\zeta_0,\zeta_\zeta,\zeta_{\zeta_\zeta},...\}\)，不动点迭代规则相同
然后我们发现级内和级间规则都是相同的，这提示我们进一步拓展的方向

进一步扩展——二元Veblen函数

Veblen函数
定义值为序数的二元Veblen函数，令\(\varphi(n,x)\)表示第\(n\)级第\(x\)个不动点，例如\(\varphi(1,2)=\epsilon_2,\varphi(3,\omega)=\eta_\omega\)
列举一些序数如下

\[\begin{split} \varphi(2,0)&=\zeta_0\\ \varphi(1,\varphi(2,0)+1)&=\epsilon_{\zeta_0+1}\\ \varphi(2,\omega)&=\zeta_\omega\\ \varphi(2,\varphi(1,0))&=\zeta_{\epsilon_0}\\ \varphi(\omega,0)\\ \varphi(\omega^\omega,0)\\ \varphi(\varphi(1,0),0) \end{split}\]

最终我们得到了二元Veblen函数的极限，或是说不动点

\[\text{Fefermen Schutte Ordinal}\\ \Gamma_0=\sup\{\varphi(1,0),\varphi(\varphi(1,0),0),...\}\\ \varphi(\Gamma_0,0)=\Gamma_0\]

严格定义的二元Veblen基本列

虽然没什么用，但是可以作为中场休息（

\[\begin{split} \varphi(0,\alpha)&=\omega^\alpha\\ \varphi(0,\alpha+1)[n]&=\omega^\alpha n\\ \varphi(\alpha+1,0)[n+1]&=\varphi(\alpha,\varphi(\alpha+1,0)[n])\\ \varphi(\alpha,\beta)[n]&=\varphi(\alpha,\beta[n])\\ \varphi(\alpha,0)[n]&=\varphi(\alpha[n],0)\\ \varphi(\alpha,\beta+1)[n]&=\varphi(\alpha[n],\varphi(\alpha,\beta)+1) \end{split}\]

然后是与前一章很类似的定义

\[\begin{split} \Gamma_0[n+1]&=\varphi(\Gamma_0[n],0)\\ \Gamma_{\alpha+1}[0]&=\Gamma_\alpha[0]+1\\ \Gamma_{\alpha+1}[n+1]&=\varphi(\Gamma_{\alpha+1}[n],0)\\ \Gamma_{\alpha}[n]&=\Gamma_{\alpha[n]} \end{split}\]

进一步扩展——定长Veblen函数

我们可以定义一个\(\varphi_1(0,\alpha)\)表示这是\(\varphi(,0)\)的第\(\alpha\)个不动点，迭代规则与\(\varphi\)相同
从而\(\varphi_1(0,\alpha)=\Gamma_\alpha\)
然后定义\(\varphi_2(0,\alpha)\)表示这是\(\varphi_1(,0)\)的第\(\alpha\)个不动点
然后我们可以叠到\(\varphi_n\)，但是为了整齐和可拓展，不如把这个\(n\)扔到括号里面
于是我们令\(\varphi(1,\alpha,0)=\varphi_1(\alpha,0)\)，但它表示的什么？它表示的是\(\varphi_1\)的第\(\alpha\)层第0个不动点
那么其迭代规则可以简单写成
层内：\(\varphi(\alpha,\beta+1,n)=\sup\{\varphi(\alpha,\beta,n)\}\)
层间：\(\varphi(\alpha+1,0,n)=\sup\{\varphi(\alpha,.,0)\}\)
于是我们就得到了三元Veblen函数，其不动点则为$$\varphi(1,0,0,0)=\sup{\varphi(1,0,0),\varphi(\varphi(1,0,0),0,0),...}$$

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进一步的，我们可以把参数个数拓展为有限个
注意到在三元Veblen函数的迭代过程中，层内迭代时\(\alpha\)并不参与迭代，或者说我们可以把参数从后往前分成几个部分：
首先是放在最后的一个参数，表示是第\(n\)个不动点
然后是一串零（可以没有），象征层数，也就是取上界的次数
然后是第一个非零项，我们可以逐步将其消成0
最后是第一个非零项之前的部分，在这一项变为0之前不参与迭代

形式化的，我们记定长Veblen函数为\(\varphi(S,\alpha,z,\beta)\)
以基本列形式定义如下：
详细请看这个，但有些地方顺序有问题

\[\begin{split} \varphi(S,\alpha,z,\beta)[n]&=\varphi(S,\alpha,z,\beta[n])\\ \varphi(S,\alpha,z,0)[n]&=\varphi(S,\alpha[n],z,0)\\ \varphi(S,\alpha,z,\beta+1)[n]&=\varphi(S,\alpha[n],z,\varphi(S,\alpha,z,\beta)+1)\\ \varphi(S,\alpha+1,z,\beta)[n+1]&=\varphi(S,\alpha,z,\varphi(S,\alpha,z,\beta)[n]) \end{split}\]

于是我们来到了下一个极限

\[\text{Small Veblen Ordinal}\\ \text{SVO}=\sup\{\varphi(1,0),\varphi(1,0,0),\varphi(1,0,0,0),...\}\\ \]

进一步扩展——不定长Veblen函数

我们看到\(\text{SVO}\)相当于将参数后面写\(\omega\)个0，这启发我们把\(\omega\)换成别的序数，甚至不动点
记\(\varphi(1@\omega)\)表示从后往前数\(\omega\)个0之后会有第一个参数1
于是我们有着不定长Veblen函数的不动点

\[\text{Large Veblen Ordinal}\\ \text{LVO}=\sup\{\varphi(1,0),\varphi(1@\omega),\varphi(1@\varphi(1@\omega)),...\}\\ \text{LVO}=\varphi(1@\text{LVO})\]

原则上来讲我们可以继续往上叠，但越往上叠起来会越丑，所以就此打止吧

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包括序数位置的基本列
写起来很麻烦，先咕了
注意网站上是用数阵表达的

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迭代序数到此告一段落，之后则会引入不可数基数与序数坍缩函数