[LuoguP2261]余数求和[数论分块]

Luogu

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我看了一堆大佬的博客才搞懂数论分块
数论分块适用于给定\(n,k\)求型如

\[\sum_{i=1}^{n}\left \lfloor \frac{k}{i} \right \rfloor f(l,r) \]

的式子
可将\(O(n)\)的复杂度降至\(O(\sqrt n)\)
首先定义\(l=1,r\)
其次有

\[r=min(n,\left \lfloor \frac {k}{\left \lfloor \frac{k}{l} \right \rfloor} \right \rfloor) \]

可以在\(O(1)\)的时间内得出\(r\)
在\(l\sim r\)内所得的商是相同的(自行打表验证)
容易证明(其实我也不会)这一段的商均为\(\left \lfloor \frac{k}{l} \right \rfloor\)
然后再\(l=r+1\)
贴个板题代码
推一下式子
\begin{split}
\sum_{i=1}^{n}k\ mod \ i &=\sum_{i=1}^{n}(k-i* \left \lfloor \frac{k}{i} \right \rfloor) \newline
&=n* k-\sum_{l<=n}(r-l+1)* \frac{r+l}{2} * \left \lfloor \frac{k}{l} \right \rfloor
\end{split}
其中\(\left \lfloor \frac{k}{l} \right \rfloor\)是区间内的商，其他的是等差数列求和
公式推出来了代码就好写了

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long
int main()
{
	ll n,k;
	scanf("%lld%lld",&n,&k);
	ll ans=n*k;
	for(ll l=1,r;l<=n;l=r+1)
	{
		r=((k/l)?min(n,k/(k/l)):n);
		ans-=(k/l)*(r-l+1)*(l+r)/2;
	}
	printf("%lld",ans);
	return 0;
}