TJ-CF1423K

CF1423K

首先，我们假设 $a>b$ ，设 $gcd(a,b)=c,a=k_1\times c,b=k_2\times c$
则 $c\le b<a$

则是 $c,k_1,k_2$ 构成一个三角形，且 $k_1>k_2(k_1>1)$

分类讨论：

1. $c$ 为最大值

   $c<k_1+k_2,c>k_1>k_2$

   由于 $c,k_1,k_2$ 都为正整数，也就是说只要 $c>2$ 就有可能的一组 $k_1,k_2$

2. $k_1$ 为最大值

   $k_1>c,k_1<c+k_2$

   若 $k_2=k_1-1$ ，则只要 $c>1$ 即可，也就是说要 $a,b$ 不互质。

3. $c=k_1(k_1>1)$

   $k_1+k_2>c$ ，则 $k_2>0$ ，只要 $a,b$ 不互质即可。

那么，当 $a$ 取什么值的时候，对于任意一个 $1\le b<a$ ， $gcd(a,b)$ 都为1呢？

显然是质数时，也就是说，合数一定不会是孤独数字

接下来单独考虑质数的情况，设 $a$ 为质数， $b=k\times a$

则 $gcd(a,b)=a$ ，三角形三边为 $a,k,1(a\ge 2)$

1. $a$ 为最大值

   则 $a<k+1$ ， $a>k$ ，矛盾。

2. $k$ 为最大值

   则 $k<a+1$ ， $k>a$ ，矛盾。

3. $a=k$

   显然满足 $k<a+1(k=a)$ 。此时 $b=a^2=k^2$ ，只有在 $a\le \sqrt{n}$ 时成立。

设 $f[i]$ 表示 $[1,i]$ 中的质数的数量，则最后答案为 $f[n]-f[\sqrt{n}]$

代码：

#include<bits/stdc++.h> 
#define ll long long 
using namespace std;
const int N=1e6+6;
bool vis[N];
int prime[N],cnt;
int sum[N];
inline void work(){
	for(int i=2;i<N;i++){
		if(!vis[i]){
			prime[++cnt]=i;
			sum[i]=1;
		}
		for(int j=1;j<=cnt&&prime[j]*i<N;j++){
			vis[i*prime[j]]=1;
			if(i%prime[j]==0) break;
		}
	}
	for(int i=1;i<N;i++) sum[i]+=sum[i-1];
}
 
int main(){	
	work();
	int T,n;
	scanf("%d",&T);
	while(T--){
		scanf("%d",&n);
		printf("%d\n",sum[n]-sum[(int)sqrt(n)]+1);
	}
	return 0;
}