洛谷P4168 蒲公英 分块处理区间众数模板
题面。
许久以前我还不怎么去机房的时候，一位大佬好像一直在做这道题，他称这道题目为“大分块”。
其实这道题目的思想不只可以用于处理区间众数，还可以处理很多区间数值相关问题。
让我们在线处理区间众数。
数据范围1e5，考虑分块。
先对蒲公英种类离散化。
预处理
预处理出两个数组。
一个数组sum[ i ][ j ]表示第j种颜色到第i个分块的前缀和。
另一个数组 zhongshu[ i ][ j ]表示第i个分块到第j个分块这个区间内的众数。
维护这两个操作时间复杂度都不能超过n3/2。
第一个数组很好维护，输入的时候将输入位置对应分块的相应种类加一，然后跑一遍前缀和即可，时间复杂度n*n1/2。
维护第二个数组，我们需要先枚举起始分块。
从起始分块开始，枚举终点分块，每枚举一个终点分块，更新这个分块内元素对于区间众数的贡献。
建立一个数组tmp[ i ]作为辅助数组表示颜色i出现次数。
for(int i=1;i<=get_pos(n);i++){//枚举起始分块 int mx=0;//从当前这个起始分块开始，到终点分块位置的众数for(int j=i;j<=get_pos(n);j++)//枚举终点分块 for(int k=(j-1)*len+1;k<=min(j*len,n);k++){ tmp[a[k]]++;//当前元素出现次数加一 if(tmp[a[k]]>tmp[mx])//若当前元素出现次数大于当前处理区间众数的出现次数，则将众数修改为当前元素 mx=a[k]; if(!(tmp[a[k]]^tmp[mx]))//若当前元素与当前处理区间众数出现次数相等，则取编号小的为众数 mx=min(mx,a[k]); } b_mos[i][j]=mx;//从分块i到分块j的众数就是mx } for(int j=0;j<=ntot;j++)//清空辅助数组 tmp[j]=0; }
时间复杂度为n1/2 *（n+n1/2*n1/2），即n3/2。
处理询问
对于询问的l，r，算出其所处分块lb,rb。
若l与r在同一分块或在相邻块内，可以暴力求出众数，时间复杂度n1/2。
int get_vio(){//vio指violent int mx=0; for(int i=l;i<=r;i++){ tmp[a[i]]++; if(tmp[a[i]]>tmp[mx])//按比较规则进行更新。 mx=a[i]; if(!(tmp[a[i]]^tmp[mx])) mx=min(mx,a[i]); } for(int i=l;i<=r;i++) tmp[a[i]]--; return mx; }
若l与r所在分块中间相隔了至少一个分块，那么所询问区间的众数只有两种可能。
- 中间那一段分块的众数
- 左端点所在块与右端点所在块内的数
不难理解。
对于中间那一段分块内的数，如果它们的出现次数要超过中间那一段分块内的众数，那么它们必须要在左端点所在块和右端点所在块内出现。
先将中间那一段分块的众数设为答案，再对左端点和右端点所在块内的数统计出现次数并更新答案即可。
int get_tim(int x){ return tmp[x]+b_sum[rb-1][x]-b_sum[lb][x];//计算某数的总出现次数 } int get_q(){ int mx=b_mos[lb+1][rb-1];//先将答案设为中间那一段分块内的众数 for(int i=l;i<=lb*len;i++){ tmp[a[i]]++; if(get_tim(a[i])>get_tim(mx))//按照比较规则更新答案 mx=a[i]; if(get_tim(a[i])==get_tim(mx)) mx=min(mx,a[i]); } for(int i=(rb-1)*len+1;i<=r;i++){ tmp[a[i]]++; if(get_tim(a[i])>get_tim(mx)) mx=a[i]; if(get_tim(a[i])==get_tim(mx)) mx=min(mx,a[i]); } for(int i=l;i<=lb*len;i++)//清空辅助数组 tmp[a[i]]--; for(int i=(rb-1)*len+1;i<=r;i++) tmp[a[i]]--; return mx; }
处理单词询问时间复杂度为n1/2。
算法整体复杂度为(m+n)*n1/2，即n3/2，可以通过本题。
类似的题目还有 洛谷P4135 。
#include<bits/stdc++.h> using namespace std; const int h=40010; const int b_h=210; int len; int get_pos(int x){//得到某个位置所在分块编号 return (x-1)/len+1; } int n,m; int a[h],line[h]; int ntot=0,num[h]; map<int,int>rk; int tmp[h]; int b_mos[b_h][b_h]; int b_sum[b_h][h]; void get_pre(){ for(int i=1;i<=get_pos(n);i++) for(int j=1;j<=ntot;j++) b_sum[i][j]+=b_sum[i-1][j]; for(int i=1;i<=get_pos(n);i++){ int mx=0; for(int j=i;j<=get_pos(n);j++){ for(int k=(j-1)*len+1;k<=min(j*len,n);k++){ tmp[a[k]]++; if(tmp[a[k]]>tmp[mx]) mx=a[k]; if(!(tmp[a[k]]^tmp[mx])) mx=min(mx,a[k]); } b_mos[i][j]=mx; } for(int j=0;j<=ntot;j++) tmp[j]=0; } } int l,r,lb,rb,lst=0,ans; int get_vio(){ int mx=0; for(int i=l;i<=r;i++){ tmp[a[i]]++; if(tmp[a[i]]>tmp[mx]) mx=a[i]; if(tmp[a[i]]==tmp[mx]) mx=min(mx,a[i]); } for(int i=l;i<=r;i++) tmp[a[i]]--; return mx; } int get_tim(int x){//计算一个数的出现次数 return tmp[x]+b_sum[rb-1][x]-b_sum[lb][x]; } int get_q(){ int mx=b_mos[lb+1][rb-1]; for(int i=l;i<=lb*len;i++){ tmp[a[i]]++; if(get_tim(a[i])>get_tim(mx)) mx=a[i]; if(get_tim(a[i])==get_tim(mx)) mx=min(mx,a[i]); } for(int i=(rb-1)*len+1;i<=r;i++){ tmp[a[i]]++; if(get_tim(a[i])>get_tim(mx)) mx=a[i]; if(get_tim(a[i])==get_tim(mx)) mx=min(mx,a[i]); } for(int i=l;i<=lb*len;i++) tmp[a[i]]--; for(int i=(rb-1)*len+1;i<=r;i++) tmp[a[i]]--; return mx; } int main(){ scanf("%d%d",&n,&m); len=sqrt(n); for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&a[i]),line[i]=a[i]; sort(line+1,line+n+1); for(int i=1;i<=n;i++)//离散化 if(line[i]!=line[i-1]) rk[line[i]]=++ntot,num[ntot]=line[i]; for(int i=1;i<=n;i++) a[i]=rk[a[i]]; for(int i=1;i<=n;i++) b_sum[get_pos(i)][a[i]]++; get_pre(); for(int i=1;i<=m;i++){ scanf("%d%d",&l,&r); l=(l+lst-1)%n+1,r=(r+lst-1)%n+1; if(l>r) swap(l,r); lb=get_pos(l),rb=get_pos(r); if(lb>=rb-1) ans=get_vio(); else ans=get_q(); printf("%d\n",num[ans]),lst=num[ans]; } return 0; }
