从 洛谷P5309 Ynoi2011 初始化 看卡常
一般情况下，程序运行消耗时间主要与时间复杂度有关，超时与否取决于算法是否正确。
但对于某些题目，时间复杂度正确的程序也无法通过，这时我们就需要卡常数，即通过优化一些操作的常数因子减少时间消耗。
比如这道题 P5309 [Ynoi2011] 初始化 。
这道题目的做法我写在另一篇博客里，这里主要研究卡常方式。
#include<bits/stdc++.h> using namespace std; const int h=200010; inline int read() { int s = 0, w = 1; char ch = getchar(); while(ch < '0' || ch > '9') { if(ch == '-') w= -1; ch = getchar(); } while(ch >= '0' && ch <= '9') { s = s * 10 + ch - '0'; ch = getchar(); } return s * w; } int mod=1e9+7; inline void update(int &x, int y) { x += y; if(x >= mod) x -= mod; } int n,m; int a[h]; int b_sum[h]; int len; int pre[2010][2010]; int suf[2010][2010]; int get_pos(int x){ return (x-1)/len+1; } int main(){ n=read(),m=read(); len=135; for(int i=1;i<=n;i++) a[i]=read(),update(b_sum[get_pos(i)],a[i]); int op,x,y,z; for(int i=1;i<=m;i++){ op=read(),x=read(),y=read(); if(op==1){ z=read(); if(x>=len) for(int j=y;j<=n;j+=x) update(a[j],z),update(b_sum[get_pos(j)],z); else{ for(int j=y;j<=x;j++) update(pre[x][j],z); for(int j=1;j<=y;j++) update(suf[x][j],z); } } else{ int l=x,r=y,lb=get_pos(x),rb=get_pos(y); int ans=0; if(lb==rb) for(int j=l;j<=r;j++) update(ans,a[j]); else{ for(int j=l;j<=lb*len;j++) update(ans,a[j]); for(int j=lb+1;j<=rb-1;j++) update(ans,b_sum[j]); for(int j=(rb-1)*len+1;j<=r;j++) update(ans,a[j]); } for(int j=1;j<len;j++){ lb=(l-1)/j+1,rb=(r-1)/j+1; if(lb==rb) ans-=pre[j][(l-1)%j],ans%=mod,ans+=pre[j][(r-1)%j+1],ans%=mod; else ans=(ans+1ll*(rb-lb-1)*pre[j][j]+pre[j][(r-1)%j+1]+suf[j][(l-1)%j+1])%mod; } ans = ans % mod + mod; ans = (ans >= mod) ? ans - mod : ans; printf("%d\n",ans); } } return 0; }
技巧一：手写常数因子大的运算
c++中取模运算常数因子很大，于是我们改用更快的运算组合表示取模。
inline void update(int &x, int y) { x += y; if(x >= mod) x -= mod; }
经此修改，可以拿到95分。
#include<bits/stdc++.h> using namespace std; const int h=200010; inline int read() { int s = 0, w = 1; char ch = getchar(); while(ch < '0' || ch > '9') { if(ch == '-') w= -1; ch = getchar(); } while(ch >= '0' && ch <= '9') { s = s * 10 + ch - '0'; ch = getchar(); } return s * w; } int mod=1e9+7; inline void update(int &x, int y) { x += y; if(x >= mod) x -= mod; } int n,m; int a[h]; int b_sum[h]; int len; int pre[2010][2010]; int suf[2010][2010]; int get_pos(int x){ return (x-1)/len+1; } int main(){ n=read(),m=read(); len=120; for(int i=1;i<=n;i++) a[i]=read(),update(b_sum[get_pos(i)],a[i]); int op,x,y,z; for(int i=1;i<=m;i++){ op=read(),x=read(),y=read(); if(op==1){ z=read(); if(x>=len) for(int j=y;j<=n;j+=x) update(a[j],z),update(b_sum[get_pos(j)],z); else{ for(int j=y;j<=x;j++) update(pre[x][j],z); for(int j=1;j<=y;j++) update(suf[x][j],z); } } else{ int l=x,r=y,lb=get_pos(x),rb=get_pos(y); int ans=0; if(lb==rb) for(int j=l;j<=r;j++) update(ans,a[j]); else{ for(int j=l;j<=lb*len;j++) update(ans,a[j]); for(int j=lb+1;j<=rb-1;j++) update(ans,b_sum[j]); for(int j=(rb-1)*len+1;j<=r;j++) update(ans,a[j]); } for(int j=1;j<len;j++){ lb=(l-1)/j+1,rb=(r-1)/j+1; if(lb==rb) ans-=pre[j][(l-1)%j],ans%=mod,ans+=pre[j][(r-1)%j+1],ans%=mod; else ans=(ans+1ll*(rb-lb-1)*pre[j][j]+pre[j][(r-1)%j+1]+suf[j][(l-1)%j+1])%mod; } ans = ans % mod + mod; ans = (ans >= mod) ? ans - mod : ans; printf("%d\n",ans); } } return 0; }
技巧二：块长乱搞
这道题目需要使用分块。
而分块的时间复杂度往往随着块长而剧烈波动。
于是我们不断尝试新的块长。（为了节约评测机资源可以二分寻找）
得出最优块长在135左右，通过了这道题，耗时为5.93s。
#include<bits/stdc++.h> using namespace std; const int h=200010; inline int read() { int s = 0, w = 1; char ch = getchar(); while(ch < '0' || ch > '9') { if(ch == '-') w= -1; ch = getchar(); } while(ch >= '0' && ch <= '9') { s = s * 10 + ch - '0'; ch = getchar(); } return s * w; } int mod=1e9+7; inline void update(int &x, int y) { x += y; if(x >= mod) x -= mod; } int n,m; int a[h]; int b_sum[h]; int len; int pre[2010][2010]; int suf[2010][2010]; int get_pos(int x){ return (x-1)/len+1; } int main(){ n=read(),m=read(); len=135; for(int i=1;i<=n;i++) a[i]=read(),update(b_sum[get_pos(i)],a[i]); int op,x,y,z; for(int i=1;i<=m;i++){ op=read(),x=read(),y=read(); if(op==1){ z=read(); if(x>=len) for(int j=y;j<=n;j+=x) update(a[j],z),update(b_sum[get_pos(j)],z); else{ for(int j=y;j<=x;j++) update(pre[x][j],z); for(int j=1;j<=y;j++) update(suf[x][j],z); } } else{ int l=x,r=y,lb=get_pos(x),rb=get_pos(y); int ans=0; if(lb==rb) for(int j=l;j<=r;j++) update(ans,a[j]); else{ for(int j=l;j<=lb*len;j++) update(ans,a[j]); for(int j=lb+1;j<=rb-1;j++) update(ans,b_sum[j]); for(int j=(rb-1)*len+1;j<=r;j++) update(ans,a[j]); } for(int j=1;j<len;j++){ lb=(l-1)/j+1,rb=(r-1)/j+1; if(lb==rb) ans-=pre[j][(l-1)%j],ans%=mod,ans+=pre[j][(r-1)%j+1],ans%=mod; else ans=(ans+1ll*(rb-lb-1)*pre[j][j]+pre[j][(r-1)%j+1]+suf[j][(l-1)%j+1])%mod; } ans = ans % mod + mod; ans = (ans >= mod) ? ans - mod : ans; printf("%d\n",ans); } } return 0; }
技巧三：按照题目内容实行特定优化
以下内容参考自原题目讨论版。
不同的题目有不同的步骤，这道题里这样一个步骤耗时巨大。
for(int j=1;j<len;j++){
lb=(l-1)/j+1,rb=(r-1)/j+1;
if(lb==rb)
ans-=pre[j][(l-1)%j],ans%=mod,ans+=pre[j][(r-1)%j+1],ans%=mod;
else
ans=(ans+1ll*(rb-lb-1)*pre[j][j]+pre[j][(r-1)%j+1]+suf[j][(l-1)%j+1])%mod;
}
这个地方运算很慢（因为一些原因套不了取模优化），而且当这个因数没有修改的时候，这些运算完全没有必要。
于是，如果这个因数没有进行修改，我们跳过后面的运算步骤。
for(int j=1;j<len;j++){ if(!pre[j][j]) continue; lb=(l-1)/j+1,rb=(r-1)/j+1; if(lb==rb) ans-=pre[j][(l-1)%j],ans%=mod,ans+=pre[j][(r-1)%j+1],ans%=mod; else ans=(ans+1ll*(rb-lb-1)*pre[j][j]+pre[j][(r-1)%j+1]+suf[j][(l-1)%j+1])%mod; }
以及在没有修改的情况下，弄一个前缀和，查询区间和直接调用。
耗时3.06s。
#include<bits/stdc++.h> using namespace std; const int h=200010; inline int read() { int s = 0, w = 1; char ch = getchar(); while(ch < '0' || ch > '9') { if(ch == '-') w= -1; ch = getchar(); } while(ch >= '0' && ch <= '9') { s = s * 10 + ch - '0'; ch = getchar(); } return s * w; } int mod=1e9+7; inline void update(int &x, int y) { x += y; if(x >= mod) x -= mod; } int n,m; int a[h]; int b_sum[h]; int len; int pre[2010][2010]; int suf[2010][2010]; int sum[h]; int get_pos(int x){ return (x-1)/len+1; } int main(){ n=read(),m=read(); len=150; for(int i=1;i<=n;i++) a[i]=read(),update(b_sum[get_pos(i)],a[i]),update(sum[i],a[i]+sum[i-1]); int op,x,y,z; bool fl=0; for(int i=1;i<=m;i++){ op=read(),x=read(),y=read(); if(op==1){ z=read(); if(x>=len) for(int j=y;j<=n;j+=x) fl|=1,update(a[j],z),update(b_sum[get_pos(j)],z); else{ for(int j=y;j<=x;j++) update(pre[x][j],z); for(int j=1;j<=y;j++) update(suf[x][j],z); } } else{ int l=x,r=y,lb=get_pos(x),rb=get_pos(y); int ans=0; if(!fl) ans+=sum[r]-sum[l-1]; else if(lb==rb) for(int j=l;j<=r;j++) update(ans,a[j]); else{ for(int j=l;j<=lb*len;j++) update(ans,a[j]); for(int j=lb+1;j<=rb-1;j++) update(ans,b_sum[j]); for(int j=(rb-1)*len+1;j<=r;j++) update(ans,a[j]); } for(int j=1;j<len;j++){ if(!pre[j][j]) continue; lb=(l-1)/j+1,rb=(r-1)/j+1; if(lb==rb) ans-=pre[j][(l-1)%j],ans%=mod,ans+=pre[j][(r-1)%j+1],ans%=mod; else ans=(ans+1ll*(rb-lb-1)*pre[j][j]+pre[j][(r-1)%j+1]+suf[j][(l-1)%j+1])%mod; } ans = ans % mod + mod; ans = (ans >= mod) ? ans - mod : ans; printf("%d\n",ans); } } return 0; }
技巧四：节约空间
开数组也是要消耗很多时间的，我们进行优化。
int b_sum[1510]; int len; int pre[161][161]; int suf[161][161];
时间优化至3.00s。
技巧五：奇技淫巧
到这一步，接下来的卡常技巧就没有学习的必要了。
比如把mod定义成成const可以快到2.52s。
将提交语言改为c++98可以快到2.4s。
然后是...然后自己看吧，没什么意义。
(主要由@Foofish大佬贡献）
//#pragma G++ target("avx") //#pragma G++ optimize("Ofast") #include<bits/stdc++.h> using namespace std; const int h=200010; inline int read() { register int s = 0, w = 1; char ch = getchar(); while(ch < '0' || ch > '9') { if(ch == '-') w= -1; ch = getchar(); } while(ch >= '0' && ch <= '9') { s = s * 10 + ch - '0'; ch = getchar(); } return s * w; } bool flag=0; const int mod=1e9+7; int n,m; int a[h]; int b_sum[2010]; int len; int pre[132][132];//pre[x][y]即modify(x,1)+modify(x,2)+...+modify(x,y) int suf[132][132]; int sum[h]; int b_len; int POS[201000]; #define get_pos(x) POS[x] inline void write(int x) { if(x >= 10) write(x / 10); putchar(x % 10 + '0'); } inline void update(int &x, int y) { x += y; if(x >= mod) x -= mod; } int main(){ //ios::sync_with_stdio(0); n=read(),m=read(); len=130; int Bnum = n / len; for(int i = 1; i <= Bnum + 1; ++i) for(int j = (i - 1) * len + 1; j <= i * len; ++j) POS[j] = i; for(int i=1;i<=n;i++) a[i]=read(),update(b_sum[get_pos(i)], a[i]),update(sum[i], sum[i - 1] + a[i]); int op,x,y,z; for(int i=1;i<=m;i++){ op=read(),x=read(),y=read(); if(op==1){ z=read(); if(x>=len) for(int j=y;j<=n;j+=x) flag|=1,update(a[j], z),update(b_sum[get_pos(j)], z); else{ for(int j=y;j<=x;j++) update(pre[x][j], z); for(int j=1;j<=y;j++) update(suf[x][j], z); } } else{ int l=x,r=y,lb=get_pos(x),rb=get_pos(y); int ans=0; if(!flag) ans+=sum[r]-sum[l-1]; else if(lb==rb) for(int j=l;j<=r;j++) update(ans, a[j]); else{ for(int j=l;j<=lb*len;j++) update(ans, a[j]); for(int j=lb+1;j<=rb-1;j++) update(ans, b_sum[j]); for(int j=(rb-1)*len+1;j<=r;j++) update(ans, a[j]); } for(int j=1;j<len;j++){ if(!pre[j][j]) continue; lb=(l-1)/j+1,rb=(r-1)/j+1; if(lb==rb) { ans-=pre[j][(l-1)%j],ans%=mod,ans+=pre[j][(r-1)%j+1],ans%=mod; // ans = (ans - pre[j][(l - 1) % j] + pre[j][(r - 1) % j + 1] + mod) % mod; } else { ans=(ans+1ll*(rb-lb-1)*pre[j][j]+pre[j][(r-1)%j+1]+suf[j][(l-1)%j+1])%mod; } } ans = ans % mod + mod; ans = (ans >= mod) ? ans - mod : ans; printf("%d",ans); puts(""); } } return 0; }
#define getchar() (p1==p2&&(p2=(p1=buf)+fread(buf,1,1<<21,stdin),p1==p2)?EOF:*p1++) char buf[1<<21],*p1=buf,*p2=buf; template<typename T>inline void read(T& t){ int c=getchar(),f=1;t=0; while(!isdigit(c)){if(c=='-')f=-1;c=getchar();} while(isdigit(c))t=t*10+c-48,c=getchar();t*=f; } template<typename T,typename ...Args>inline void read(T& t,Args&... args){ read(t),read(args...); }
*某位大佬提供的快读，安装之后时间达到了2.23s。
目前能达到的最短时间：c++ 14 无O2优化 2.21s
update on 2022.11.13
c++ 98 2.12s
#pragma G++ target("avx") #pragma G++ optimize("Ofast") #include<bits/stdc++.h> using namespace std; const int h=200010; #define getchar() (p1==p2&&(p2=(p1=buf)+fread(buf,1,1<<21,stdin),p1==p2)?EOF:*p1++) char buf[1<<21],*p1=buf,*p2=buf; template<typename T>inline void read(T& t){ int c=getchar(),f=1;t=0; while(!isdigit(c)){if(c=='-')f=-1;c=getchar();} while(isdigit(c))t=t*10+c-48,c=getchar();t*=f; } template<typename T,typename ...Args>inline void read(T& t,Args&... args){ read(t),read(args...); } bool flag=0; const int mod=1e9+7; int n,m; int a[h]; int b_sum[2010]; const int len=150; int pre[152][152];//pre[x][y]即modify(x,1)+modify(x,2)+...+modify(x,y) int suf[152][152]; int sum[h]; int b_len; int POS[201000]; #define get_pos(x) POS[x] inline void write(int x) { if(x >= 10) write(x / 10); putchar(x % 10 + '0'); } inline void update(int &x, int y) { x += y; if(x >= mod) x -= mod; } int main(){ //ios::sync_with_stdio(0); read(n,m); //len=130; int Bnum = n / len; for(int i = 1; i <= Bnum + 1; ++i) for(int j = (i - 1)* len + 1,ran= i * len; j <=ran ; ++j) POS[j] = i; for(int i=1;i<=n;i++) read(a[i]),update(b_sum[get_pos(i)], a[i]),update(sum[i], sum[i - 1] + a[i]); int op,x,y,z; for(int i=1;i<=m;i++){ read(op,x,y); if(op==1){ read(z); if(x>=len) for(int j=y;j<=n;j+=x) flag|=1,update(a[j], z),update(b_sum[get_pos(j)], z); else{ for(int j=y;j<=x;j++) update(pre[x][j], z); for(int j=1;j<=y;j++) update(suf[x][j], z); } } else{ int l=x,r=y,lb=get_pos(x),rb=get_pos(y); int ans=0; if(!flag) ans+=sum[r]-sum[l-1]; else if(lb==rb) for(int j=l;j<=r;j++) update(ans, a[j]); else{ for(int j=l,ran=lb*len;j<=ran;j++) update(ans, a[j]); for(int j=lb+1;j<=rb-1;j++) update(ans, b_sum[j]); for(int j=(rb-1)*len+1;j<=r;j++) update(ans, a[j]); } for(int j=1;j<len;j++){ if(!pre[j][j]) continue; lb=(l-1)/j+1,rb=(r-1)/j+1; if(lb==rb) { ans-=pre[j][(l-1)%j],ans%=mod,ans+=pre[j][(r-1)%j+1],ans%=mod; // ans = (ans - pre[j][(l - 1) % j] + pre[j][(r - 1) % j + 1] + mod) % mod; } else { ans=(ans+1ll*(rb-lb-1)*pre[j][j]+pre[j][(r-1)%j+1]+suf[j][(l-1)%j+1])%mod; } } update(ans,mod); ans = (ans >= mod) ? ans - mod : ans; printf("%d\n",ans); //puts(""); } } return 0; }
此文终。
