最小生成树

 

1.Prim算法:

1.算法描述:

1).输入:一个加权连通图,其中顶点集合为V,边集合为E;

2).初始化:Vnew = {x},其中x为集合V中的任一节点(起始点),Enew = {},为空;

3).重复下列操作,直到Vnew = V:

a.在集合E中选取权值最小的边<u, v>,其中u为集合Vnew中的元素,而v不在Vnew集合当中,并且v∈V(如果存在有多条满足前述条件即具有相同权值的边,则可任意选取其中之一);

b.将v加入集合Vnew中,将<u, v>边加入集合Enew中;

4).输出:使用集合Vnew和Enew来描述所得到的最小生成树。

 

2.算法实例:

图例说明不可选可选已选(Vnew
 

此为原始的加权连通图。每条边一侧的数字代表其权值。 - - -

顶点D被任意选为起始点。顶点ABEF通过单条边与D相连。A是距离D最近的顶点,因此将A及对应边AD以高亮表示。 C, G A, B, E, F D
 

下一个顶点为距离DA最近的顶点。BD为9,距A为7,E为15,F为6。因此,FDA最近,因此将顶点F与相应边DF以高亮表示。 C, G B, E, F A, D
算法继续重复上面的步骤。距离A为7的顶点B被高亮表示。 C B, E, G A, D, F
 

在当前情况下,可以在CEG间进行选择。CB为8,EB为7,GF为11。E最近,因此将顶点E与相应边BE高亮表示。 C, E, G A, D, F, B
 

这里,可供选择的顶点只有CGCE为5,GE为9,故选取C,并与边EC一同高亮表示。 C, G A, D, F, B, E

顶点G是唯一剩下的顶点,它距F为11,距E为9,E最近,故高亮表示G及相应边EG G A, D, F, B, E, C

现在,所有顶点均已被选取,图中绿色部分即为连通图的最小生成树。在此例中,最小生成树的权值之和为39。 A, D, F, B, E, C, G

 

3.参考代码:

 

 

2.Kruskal算法:

1.算法描述:

1).记Graph中有v个顶点,e个边

2).新建图Graphnew,Graphnew中拥有原图中相同的e个顶点,但没有边

3).将原图Graph中所有e个边按权值从小到大排序

4).循环:从权值最小的边开始遍历每条边 直至图Graph中所有的节点都在同一个连通分量中

                if 这条边连接的两个节点于图Graphnew中不在同一个连通分量中

                                         添加这条边到图Graphnew

 

2.算法实例:

图例 说明
首先第一步,我们有一张图Graph,有若干点和边
将所有的边的长度排序,用排序的结果作为我们选择边的依据。这里再次体现了贪心算法的思想。资源排序,对局部最优的资源进行选择,排序完成后,我们率先选择了边AD。
在剩下的变中寻找。我们找到了CE。这里边的权重也是5
依次类推我们找到了6,7,7,即DF,AB,BE。

下面继续选择, BC或者EF尽管现在长度为8的边是最小的未选择的边。但是现在他们已经连通了(对于BC可以通过CE,EB来连接,类似的EF可以通过EB,BA,AD,DF来接连)。所以不需要选择他们。类似的BD也已经连通了(这里上图的连通线用红色表示了)。

最后就剩下EG和FG了。当然我们选择了EG。

 

3.参考代码:

 

posted on 2015-08-11 12:50  huashunli  阅读(163)  评论(0编辑  收藏  举报

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