快速幂/费马小定理

 

1.为了理解快速幂思想，先看一个例子：求5 ^ 19 = ？

　因为19₍₁₀₎ = 10011₍₂₎，所以有5 ^ 19 = 5 ^ (1+2+16) = (5^1) * (5^2) * (5^16);

　将二进制分解思想实现，代码如下：

#include <stdio.h>
int QuickPow(int p, int n, int m)            /* 解决(p ^ n) % m = ?这类问题 */
{
    
    int ans = 1, base = p % m;              // ans暂存当前结果,base为相应位基值
    while(n >= 1)
    {
        if(n & 1)
            ans = (ans * base) % m;
        n = n >> 1;                          
        base = (base * base) % m;
    }
    return ans;
}

int main()
{
    int res;
    res = QuickPow(2, 10, 1000);
    printf("res = %d\n", res);
    return 0;
}

 

 

2.费马小定理定义为：假如p是整数，m是质数，且p, m互质，即gcd(p, m) = 1，则(p^(m-1)) % m = 1。

　下面通过一个具体应用 hdu还是幂取模 来加深理解：

   题目大意：给定A,B,C，计算(A^(B^C)) % (e8+7) = ？(已知e8+7是素数，1<=A,B,C<=e9)

   解题思路：（1）为了将费马小定理运用进来，先将(B^C)看成整体；

　　　　　　（2）e8+7是素数，但好像无法保证gcd(A, e8+7) = 1，尚有疑问？

　　　　　　（3）对(B^C)作拆分处理：(B^C)       =       ((B^C)/(e8+6)) * (e8+6)       +       (B^C) % (e8+6)；

                （4）代入第(3)步且结合费马小定理得：(A^(B^C)) % (e8+7) = (A^((B^C)%(e8+6)) % (e8+7);

　题目结果：两次运用快速幂，内层对(e8+6)取模，外层对(e8+7)取模。