树状数组

适用条件：

给定一个规模较大的数组，其中元素变更频繁，随时对数组中所有数的求和。

图中底层为给定数组a，上层为辅助求解的树状数组c，二者之间的关系为 ：

当c的下标i为奇数时，c[i] = a[i]；

当c的下标i为偶数时，取决于i的因子中最大的一个“2的整数次幂”是多少，如6的因子中为2，则c[6] = a[5] + a[6];

 

求解树状数组：

根据以上分析可写出关系式：c[i] = a[i-2^k+1] + …… + a[i];  那么难点就是求解i所对应的2^k怎么求？

(其中k为i的二进制表示中末尾0的个数，根据右移规律可知，2^k即i的因子中最大的一个“2的整数次幂”)

int lowbit(int x)
{ 
    return x & (-x); 
}

求出c数组后，下面就可对整个数组进行求和了。

 

给定数组求和：

若求数组前6个数和，依据树状图可知sum = c[6] + c[4]；

int Sum(int n)
{
    int sum = 0;
    while(n > 0)
    {
        sum += c[n];
        n -= lowbit(n);  // 将n的二进制表示最后一个1的位置减一
    }
    return sum;
}

 

 

修改数组元素：

若对a[5]加上数x，则c[5], c[6], c[8]都要依次调整；

void Change(int i, int x)
{
    while(i <= n)
    {
        c[i] += x;
        i += lowbit(i);  // 将n的二进制表示最后一个1的位置加一
    }
}