背包问题

-------------------  0-1背包  ------------------- 

问题描述：

N件物品和容量为V的背包；每种物品均只有一件，且第i件物品重量为weight[i]，价值为value[i]。求将哪些物品放入背包可使物品重量总和不超过背包容量，且价值总和达到最大？

解题思路：

首先定义问题状态，DP[i][V]表示前i件物品放入容量为V的背包所能获得的最大值(以下分析都如此)。

若只考虑第i件物品的放入策略，即放入或不放入两种情况，问题就可转化为一个只涉及前i-1件物品的问题，得状态转移方程：

DP[i][v] = max{ DP[i-1][v],  DP[i-1][v-weight[i]] + value[i] }

空间复杂度优化：

用一维数组存储DP值，用DP[0,1,...V]表示，DP[v]表示把前i件物品放入容量为v的背包所得到的最大价值，这样可将空间复杂度从O(VN)降低到O(V)。

那么就要解决从二维转成一维过程是否合理的问题：怎样才能在DP[v]表示当前状态(即前i件物品放入容量为v的背包中所得价值)的同时，使得DP[v]和DP[v-weight[i]]分别都能标记前一状态(即前i-1件物品分别放入容量为v和v-weight[i]的背包所得价值)？

解决方法：时间复杂度O(VN)不变，仍为两重for循环，从下图可以看出，当外层为i循环，内层为v循环时，DP[0,1,...V]由于不断覆盖旧值的原因，将始终保存的是蓝色区域下边缘的系列值，对比观察改进前后的两个状态转移方程，可知此处DP[v]的值应采用逆序保存。

伪代码如下：

for i = 1,2...N
    for v = V...1,0
        DP[v] = max{DP[v], DP[v-weight[i]] + value[i]};

 

 

-------------------  完全背包  -------------------

问题描述：

N件物品和容量为V的背包；每件物品无限可用，且第i件物品重量为weight[i]，价值为value[i]。求将哪些物品放入背包可使物品重量总和不超过背包容量，且价值总和达到最大？

解题思路：

按照分析01背包思路，同样根据每件物品的放入策略，有很多种情况(不是无限种，有 0 <= k*value[i] <= v 约束条件)，可得状态转移方程：

DP[i][v] = max{ DP[i-1][v],  DP[i-1][v-k*weight[i]] + k*value[i] }

空间复杂度优化：

同0-1背包优化方法，DP的值仍采用一维存储，唯一区别在于DP[v]值改为顺序保存。

这就产生了疑问：完全背包中物品的放入策略不再是两种，而是多种情况，当DP用二维存储时，程序为三重for循环，那么优化后采用一维存储为什么没有了关于k的循环？

原因分析：在这里引用背包系列之完全背包中相关解释：

首先想想为什么P01中要按照v=V..0的逆序来循环。这是因为要保证第i次循环中的状态f[i][v]是由状态f[i-1][v-c[i]]递推而来。换句话说，这正是为了保证每件物品只选一次，保证在考虑“选入第i件物品”这件策略时，依据的是一个绝无已经选入第i件物品的子结果f[i-1][v-c[i]]。而现在完全背包的特点恰是每种物品可选无限件，所以在考虑“加选一件第i种物品”这种策略时，却正需要一个可能已选入第i种物品的子结果f[i][v-c[i]]，所以就可以并且必须采用v=0..V的顺序循环。这就是这个简单的程序为何成立的道理。

由此可见，二维存储转成一维存储之前，先要在思维上过渡：

DP[i][v] = max{DP[i-1][v], DP[i-1][v-k*weight[i]] + k*value[i]}

                            ||
                           \  /
                            \/
   DP[i][v] = max{DP[i-1][v], DP[i][v-weight[i]] + value[i]}

                            ||
                           \  /
                            \/
       DP[v] = max{DP[v], DP[v-weight[i]] + value[i]};

 

伪代码如下：

for i = 1,2...N
    for v = 0,1...V
        DP[v] = max{DP[v], DP[v-weight[i]] + value[i]};

 

-------------------  多重背包  -------------------

问题描述：

N件物品和容量为V的背包；第i件最多有num[i]件可用，且第i件物品重量为weight[i]，价值为value[i]。求将哪些物品放入背包可使物品重量总和不超过背包容量，且价值总和达到最大？

代码如下：

void ZeroOnePack(int v, int w)
{
    for(int j = V; j >= w; j--)  
        DP[j] = max(DP[j], DP[j-w]+v);
}
void CompletePack(int v, int w)
{
    for(int j = w; j <= V; j++)   
        DP[j] = max(DP[j], DP[j-w]+v);
}
void MultiplePack(int v, int w, int n)
{
    if(w*n >= V)
    {
        CompletePack(v, w);      // 纯粹的完全背包
        return ;    
    } 
    int k = 1;
    while(k < n)
    {
        ZeroOnePack(k*v, k*w);   // 二进制思想分解
        n = n - k;
        k = k * 2;
    }
    ZeroOnePack(n*v, n*w);
}
/************************************************/
// 外层的物品种类循环在main函数中
for(i = 1; i <= N; i++)
{   
    // 内层的容量循环在MultiplePack中讨论处理
    MultiplePack(v[i], w[i], num[i]);
}