树上问题三题

例1

有一棵树共 $n$ 个节点，$n-1$ 条边。共有 $q$ 个问询，每个问询关于两条路径：$u$ 到 $v$ 的路径，$a$ 到 $b$ 的路径，需要判断这两条路径是否相交，也就是判断两条路径是否有公共的节点。对于这 $q$ 个问询，请统计共有几个问题的答案是路径相交的。

首先考虑暴力方法：

1. 枚举树上所有 $n$ 个节点,判断是否有节点同时在两个路径上。复杂度为 $\mathrm{\Theta }(nq\log n)$
2. 枚举路径 $(a,b)$ 上每一个节点 $x$ ，判断 $x$ 是否在路径 $(u,v)$ 上。平均复杂度为 $\mathrm{\Theta }(q{\log }^{2}n)$，最差复杂度为 $\mathrm{\Theta }(nq\log n)$

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还能不能更快？

手算几个样例，可以发现规律：设 $lca(u,v)$ 不高于 $lca(a,b)$ ，两直线相交，必经过 $lca(u,v)$，即必经过较低的 $lca$。

因此产生了正解思路：对于路径 $(a,b)$ 和路径 $(u,v)$，分别计算 $lca(a,b)$ 和 $lca(u,v)$。当 $lca(a,b)$ 高于 $lca(u,v)$，则如果 $(a,b)$ 经过 $lca(u,v)$，两路径相交。反之如果 $(u,v)$ 经过 $lca(a,b)$，两路径相交。该算法时间复杂度为 $\mathrm{\Theta }(n\log n+q\log n)$。

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AC代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
ll ans;
int L,n,q,d[200009],p[200009][209],tI[200009],tO[200009],timer;
vector<int> to[200009];
void depth(int x,int dep){
	d[x]=dep;
	for(int i=0;i<to[x].size();i++){
		if(d[to[x][i]])  continue;
		depth(to[x][i],dep+1);
	}
}
void init(int u,int fa){
	tI[u]=++timer;
	p[u][0]=fa;
	for(int i=1;i<=L;i++)  p[u][i]=p[p[u][i-1]][i-1];
	for(int i=0;i<to[u].size();i++){
		if(to[u][i]!=fa)  init(to[u][i],u);
	}
	tO[u]=++timer;
}
bool up(int u,int v){
	return !u||tI[u]<=tI[v]&&tO[v]<=tO[u];
}
int lca(int u,int v){
	if(u==v)  return u;
	if(up(u,v))  return u;
	if(up(v,u))  return v;
	for(int i=L;i>=0;i--){
		if(!up(p[u][i],v))  u=p[u][i];
	}
	return p[u][0];
}
int dst(int x,int y){
	return d[x]+d[y]-2*d[lca(x,y)];
}
bool onPath(int x,int u,int v){
	return dst(u,x)+dst(v,x)==dst(u,v);
}
int main(){
	cin>>n;
	for(int i=1;i<=n-1;i++){
		int u,v;  cin>>u>>v;
		to[u].push_back(v);
		to[v].push_back(u);
	}
	depth(1,1);init(1,0);
	L=log(n)/log(2)+1;
	cin>>q;
	for(int i=1;i<=q;i++){
		int a,b,u,v;cin>>u>>v>>a>>b;
		int uv=lca(u,v),ab=lca(a,b);
		if(d[ab]>d[uv])  ans+=onPath(ab,u,v);
		else  ans+=onPath(uv,a,b);
	}
	cout<<ans;
	return 0;
}

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例2

输入一棵树，输出该树的直径。

思路1：

枚举每一个转折点，计算以该点为转折点的两条最长路（注意不能有重叠的边），输出最大值。

AC代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
int ans,n,lst[100009],h1[100009],h2[100009];
vector<int> to[100009];
void dfs(int u,int fa){
	for(int i=0;i<to[u].size();i++){
		int v=to[u][i];
		if(v==fa)  continue;
		dfs(v,u);
		h2[u]=max(h2[u],h1[v]+1);
		if(h2[u]>h1[u])  swap(h2[u],h1[u]);
	}
	return ;
}
void solve(){
	dfs(1,0);
	for(int i=1;i<=n;i++)  lst[i]=h1[i]+h2[i];
	ans=*max_element(lst+1,lst+1+n);
	return ;
}
int main(){
	cin>>n;
	for(int i=1;i<=n-1;i++){
		int u,v;
		cin>>u>>v;
		to[u].push_back(v);
		to[v].push_back(u);
	}
	solve();
	cout<<ans;
	return 0;
}
 

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思路2：

直径的 $2$ 个端点必定是“边缘点”。执行 $2$ 次DFS，第一次以任意点为根节点，找到距离 $A$ 最远的点 $B$。再以 $B$ 为根节点DFS，找到距离 $B$ 最远的点 $C$。则 $BC$ 一定为直径。

例3

春节期间，小明要去长辈家里拜年。假设小明和爸妈住在 $A$ 点，爷爷奶奶家在 $B$ 点，外公外婆家在 $C$ 点。小明的拜年路线会从 $A$ 点出发，然后判断 $B$ 和 $C$ 点哪个点距离 $A$ 点更近，小明就先去哪个点拜年。假如 $A$ 到 $B$ 的距离比 $A$ 到 $C$ 的距离更近，那么小明就先从 $A$ 到 $B$ 再从 $B$ 到 $C$；假如 $A$ 到 $C$ 的距离比 $A$ 到 $B$ 的距离更近，那么小明就先从 $A$ 到 $C$ 再从 $C$ 到 $B$。已知 $A,B,C$ 所在地区的道路形成一棵树的形状，共 $n$ 个点，$n-1$ 条道路，所有点都能通过道路连通。但是 $A,B,C$ 具体在哪个点的位置，我们并不知道，请问小明从 $A$ 点开始拜年两处长辈所走的路径总长度最多可能是多少?

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思路1：枚举转折点，预计算前 $3$ 长路径

思路2：计算直径 $BC$ $+$ 枚举 $A$

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#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
ll n,d[200009],tI[200009],tO[200009],p[200009][109],timer,L;
vector<ll> to[200009];
vector<ll> dis[200009];
void dfs(ll x,ll dep){
	d[x]=dep;
	for(ll i=0;i<to[x].size();i++){
		ll y=to[x][i];
		if(d[y])  continue;
		dfs(y,dep+dis[x][i]);
	}
	return ;
}
void init(ll u,ll fa){
	tI[u]=++timer;
	p[u][0]=fa;
	for(ll i=1;i<=L;i++)  p[u][i]=p[p[u][i-1]][i-1];
	for(ll i=0;i<to[u].size();i++){
		if(to[u][i]!=fa)  init(to[u][i],u);
	}
	tO[u]=++timer;
}
bool up(ll u,ll v){
	return !u||tI[u]<=tI[v]&&tO[v]<=tO[u];
}
ll lca(ll u,ll v){
	if(u==v)  return u;
	if(up(u,v))  return u;
	if(up(v,u))  return v;
	for(ll i=L;i>=0;i--){
		if(!up(p[u][i],v))  u=p[u][i];
	}
	return p[u][0];
}
ll dst(ll x,ll y){
	return d[x]+d[y]-2*d[lca(x,y)];
}
int main(){
	scanf("%lld",&n);
	for(ll i=1;i<=n-1;i++){
		ll u,v,w;
		scanf("%lld%lld%lld",&u,&v,&w);
		to[u].push_back(v);
		to[v].push_back(u);
		dis[u].push_back(w);
		dis[v].push_back(w);
	}
	dfs(1,1);
	ll B=max_element(d+1,d+1+n)-d;
	memset(d,0,sizeof(d));
	dfs(B,1);
	ll C=max_element(d+1,d+1+n)-d;
	ll ans=0;
	memset(d,0,sizeof(d));
	dfs(1,1);
	L=log(n)/log(2)+1;
	init(1,0);
	for(ll A=1;A<=n;A++){
		ll AB=dst(A,B);
		ll AC=dst(A,C);
		ll cost=min(AB,AC)+dst(B,C);
		ans=max(ans,cost); 
	}
	printf("%lld",ans);
	return 0;
}