树上DP笔记

树是一个由 $n$ 个节点，$n-1$ 条边组成的联通图，图上没有环，其每一条边都是割边。

在树上设计动态规划算法时，一般以节点从深到浅的顺序作为 DP 的阶段。大多数时候，采用递归的方式实现树形动态规划。

对于每一个节点 $x$，先对它的每一个子节点进行 DP，回溯时从子节点向 $x$ 进行状态转移。

例题 $1$ P1352

以节点编号作为 DP 状态的第 $1$ 维，一名职员是否愿意参加，只与他的直接上司是否参加有关。我们定义 $f[x,0]$ 表示从以 $x$ 为根的子树中邀请一部分职员参会，且 $x$ 不参加舞会时，快乐总和的最大值，$f[x,1]$ 则代表 $x$ 参加舞会时快乐总和的最大值。

那么状态转移方程为：

$$f[x,0]={\displaystyle \sum _{s\in son(x)}max(f[s,0],f[s,1]);}$$

$$f[x,1]=h[x]+{\displaystyle \sum _{s\in son(x)}f[s,0];}$$

如果是叶子结点，那么：

$$f[x,0]=0,f[x,1]=h[x]$$

设根节点为 $root$，那么答案为 $max(f[root,0],f[root.1])$。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,r[100009],f[100009][2];
vector<int> to[100009];
void dp(int x,int fa){
	for(int i=0;i<to[x].size();i++){
		if(to[x][i]==fa)  continue;
		dp(to[x][i],x);
	}
	for(int i=0;i<to[x].size();i++){
		f[x][0]+=max(f[to[x][i]][0],f[to[x][i]][1]);
		f[x][1]+=f[to[x][i]][0];
	}
	f[x][1]+=r[x];
	return ;
}
int main(){
	cin>>n;
	for(int i=1;i<=n;i++)  cin>>r[i];
	for(int i=1;i<=n-1;i++){
		int x,y;
		cin>>x>>y;
		to[x].push_back(y);
		to[y].push_back(x);
	}
	dp(1,0);
	cout<<max(f[1][0],f[1][1]);
	return 0;
}

例题 $2$ P2014

我们定义 $f[x,t]$ 为以 $x$ 为根的子树中选修 $t$ 门课能获得的最大学分。$son(x)$ 为 $x$ 的子节点集合，个数 $p=|son(x)|$

如果 $x$ 学习完毕，则可以学习 $x$ 的子节点，对于每个子节点 $y_i\in son(x)$，在以 $y_i$ 为根的子树中选择 $C_i$ 门课，则在满足 ${\displaystyle \sum _{y\in son(x)}=t-1}$ 的情况下获得尽可能多的学分。

当 $t=0$ 时，$f[x,t]=0$。

当 $t>0$ 时，状态转移方程如下：

$$f[x,y]={\displaystyle \underset{\sum _{i=1}^p{c}_i=t-1}{max}\{{\displaystyle \sum _{i=1}^{p}f[y_i,c_i]\}+score[x]}}$$

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
ll n,m,s[1009],f[1009][1009];
vector<int> to[1009];
void dp(int x){
	f[x][0]=0;
	for(int i=0;i<to[x].size();i++){
		int y=to[x][i];
		dp(y);
		for(int t=m;t>=0;t--){
			for(int j=0;j<=t;j++)  f[x][t]=max(f[x][t],f[x][t-j]+f[y][j]);
		}
	}
	if(x!=0){
		for(int t=m;t>0;t--)  f[x][t]=f[x][t-1]+s[x];
	}
	return ;
}
int main(){
	cin>>n>>m;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		int ki,si;
		cin>>ki>>si;
		to[ki].push_back(i);
		s[i]=si;
	}
	dp(0);
	cout<<f[0][m]; 
	return 0;
}
 
 
 

例题 $3$ P4395

题目和气垫车有什么关系

看到题目的第一反应可能是贪心 $12$ 染色，但可以被菊花图 hack。

进过一系列玄学计算可以算出取值上界大约是 $\log n+1$，在本题中是 $15$，保险一点取 $20$。令 $f[x,t]$ 表示节点 $x$ 取 $t$ 时的最小权值和。

如果 $x$ 为叶节点，$f[x,t]=t$

否则

$$f[x,t]={\displaystyle \sum _{s\in son(x)}{\displaystyle \underset{k\ne t}{min}\{f[s,k]\}+t}}$$

答案为 $min\{f[1,t]\}$。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,f[10009][29];
vector<int> to[10009];
void dp(int x,int fa){
	for(int i=1;i<=20;i++)  f[x][i]=i;
	for(int i=0;i<to[x].size();i++){
		if(to[x][i]==fa)  continue;
		dp(to[x][i],x);
		for(int j=1;j<=20;j++){
			int minn=0x3f3f3f3f;
			for(int k=1;k<=20;k++){
				if(j==k)  continue;
				minn=min(minn,f[to[x][i]][k]);
			}
			f[x][j]+=minn;
		}
	}
	return ;
}
int main(){
	cin>>n;
	for(int i=1;i<=n-1;i++){
		int x,y;
		cin>>x>>y;
		to[x].push_back(y);
		to[y].push_back(x);
	}
	dp(1,0);
	int ans=0x3f3f3f3f;
	for(int i=1;i<=20;i++)  ans=min(ans,f[1][i]);
	cout<<ans;
	return 0;
}