CSP-J2022 复盘

T1 乘方

方法 $1$：使用快速幂，判断答案是否 $\ge {10}^9$。

方法 $2$：特判 $1$ 的情况，其余的可以直接乘。

此处给出方法 $2$ 的代码。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
ll a,b;
int main(){
	cin>>a>>b;
	if(a==1)  cout<<1;
	else{
		ll res=1;
		for(int i=1;i<=b;i++){
			res*=a;
			if(res>1e9){cout<<-1;return 0;}
		}
		cout<<res;
	}
	return 0;
}

T2 解密

思路：

记 $m_i=n_i-e_i\times d_i+2$。

根据已知信息，可以推出 $p_i\times q_i=n_i$，$p_i+q_i=n_i-e_i\times d_i+2=m_i$。

而 $n_i,e_i,d_i$ 均为已知数，因此本题转换为：

已知 $p_i+q_i=m_i$，$p_i\times q_i=n_i$，求 $p_i,q_i$。

$p_i-q_i=\sqrt{(p_i+q_i{)}^2-4\times p_i\times q_i}=\sqrt{{m_i}^2-4n_i}$

${p_i}^2-{q_i}^2=(p_i+q_i)(p_i-q_i)=m_i\times \sqrt{{m_i}^2-4n_i}$

${p_i}^2+{q_i}^2=(p_i+q_i{)}^2-2p_i{q}_i={m_i}^2-2n_i$

$\therefore 2{p_i}^2=m\times \sqrt{{m_i}^2-4n_i}+{m_i}^2-2n_i$

${p_i}^2=\frac{m\times \sqrt{{m_i}^2-4n_i}+{m_i}^2-2n_i}{2}$

$p_i=\sqrt{\frac{m\times \sqrt{{m_i}^2-4n_i}+{m_i}^2-2n_i}{2}}$

$p_i=\frac{\sqrt{2m_i\times \sqrt{{m_i}^2-4n_i}+2{m_i}^2-4n_i}}{2}$

注意到 $2m_i\times \sqrt{{m_i}^2-4n_i}+2{m_i}^2-4n_i$ 是个完全平方公式。

继续化简得 $p_i=\frac{m_i+\sqrt{{m_i}^2-4n_i}}{2}$

$q_i=m_i-p_i=m_i-\frac{m_i+\sqrt{{m_i}^2-4n_i}}{2}=\frac{m_i-\sqrt{{m_i}^2-4n_i}}{2}$

综上，
$\{\begin{array}{l}{p}_i=\frac{m_i+\sqrt{{m_i}^2-4n_i}}{2}\\ q_i=\frac{m_i-\sqrt{{m_i}^2-4n_i}}{2}\end{array}$

注意如果 $p_i$ 比 $q_i$ 大则交换 $p_i,q_i$

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int INF=0x3f3f3f3f;
ll k,n,d,e;
int main(){
	cin>>k;
	for(int i=1;i<=k;i++){
		cin>>n>>d>>e;
		ll m=n-e*d+2;
		ll tmp1=m*m-4*n;
		if(tmp1<0){
			cout<<"NO"<<endl; 
			continue;
		}
		ll p=(m+sqrt(tmp1))/2;
		ll q=m-p;
		if(p>q)  swap(p,q);
		if(p*q==n&&p>0)  cout<<p<<" "<<q<<endl;
		else  cout<<"NO"<<endl;
	}
	return 0;
}

根据这道题，还可以得出一个普遍的结论：

已知 $a+b=n,a\times b=m$，

则
$\{\begin{array}{l}a=\frac{n+\sqrt{n^2-4m}}{2}\\ b=\frac{n-\sqrt{n^2-4m}}{2}\end{array}$

T3 逻辑表达式

考场上没有考虑到优化

  #include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int INF=0x3f3f3f3f;
string str;
int ch1[200009],ch2[200009],t1[200009],t2[200009],ans1,ans2,ans;
int solve(int l,int r){
	if(l==r)  return (str[l]-'0');
	if(ch2[r]>=l){
		int anst=solve(l,ch2[r]-1);
		if(anst==1){
			ans2++;
			return 1;
		}
		else  return solve(ch2[r]+1,r);
	}
	else if(ch1[r]>=l){
		int anst=solve(l,ch1[r]-1);
		if(anst==0){
			ans1++;
			return 0;
		}
		else  return solve(ch1[r]+1,r);
	}
	else  return solve(l+1,r-1);
}
int main(){
	cin>>str;
	for(int i=0;i<str.size();i++)  ch1[i]=ch2[i]=t1[i]=t2[i]=-1;
	int flr=0;
	for(int i=0;i<str.size();i++){
		if(str[i]=='(')  flr++; 
		if(str[i]==')')  flr--;
		if(str[i]=='&')  t1[flr]=i;
		if(str[i]=='|')  t2[flr]=i;
		ch1[i]=t1[flr];
		ch2[i]=t2[flr];
	}
	ans=solve(0,str.size()-1);
	cout<<ans<<endl<<ans1<<" "<<ans2<<endl;
	return 0;
}
 
 
 

T4 上升点列

我是傻逼。

我把 $x$ 写成 $y$ 了。

每个大样例都过了。

$100pts\to 65pts$。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
struct star{
	ll x,y;
};
ll n,k,f[509][109];
star s[509];
bool cmp(const star&a,const star&b){
	return a.x<b.x||a.x==b.x&&a.y<=b.y;
}
int main(){
	cin>>n>>k;
	for(ll i=1;i<=n;i++){
		cin>>s[i].x>>s[i].y;
	}
	sort(s+1,s+1+n,cmp);
	ll ans=0;
	for(ll i=1;i<=n;i++){
		f[i][k]=1;
		for(ll j=1;j<i;j++){
			if(s[j].x>s[i].x||s[j].y>s[i].y)  continue;
			ll dis=abs(s[i].x-s[j].x)+abs(s[i].y-s[j].y)-1;
			for(ll l=0;l+dis<=k;l++){
				if(f[j][l+dis]){
					f[i][l]=max(f[i][l],f[j][l+dis]+dis+1);
				}
			}
		}
	}
	for(ll i=1;i<=n;i++){
		for(ll j=0;j<=k;j++){
			ans=max(ans,f[i][j]+j);
		}
	}
	cout<<ans;
	return 0;
}