数论知识进阶1

数论知识进阶1

一 知识整理

1 取整函数的性质

1.1对于正整数n，1到n中d的倍数有\(\lfloor\frac n d\rfloor\)个

​ 显而易见

1.2对于任意x与正整数a,b\(\lfloor\frac {\lfloor\frac x b\rfloor} a\rfloor=\lfloor\frac x {ab}\rfloor\)

​ 依然十分显然 考虑x/b的余数 显然的再被ab除时必不是整数

1.3对于任意正整数n，考虑考虑当 1 ≤ d ≤ n 时，⌊n/d⌋ 的不同的取值个数

​ 若 d ≤ √n，则能得到的 ⌊n/d⌋ 只有不超过 √n 种。

​ 若 d > √n，则 ⌊n/d⌋ ≤ n/d < √ n，又因为 ⌊n/d⌋ 是正整数，故此时 可能的取值也不超过 √n种

1.4

2 积性函数

2.1若对于正整数a,b且a|b都有f(ab)=f(a)f(b)则称f为积性函数

2.2显然的

​ 若 f 是积性函数，且n的标准分解

\[n=p_1^{\alpha_1}p_2^{\alpha_2}p_3^{\alpha_3}... \]

​ 则

\[f(n)=f(p_1^{\alpha_1})f(p_2^{\alpha_2})f(p_3^{\alpha_3})... \]

2.3若要对 1 到 n 之间的所有数求出 f，注意到 Euler 筛法的过 程中可以求出每个数的最小素因子和最小素因子的幂次，利用此 就能在线性时间内计算出所需的 f 的值。

2.4

3 迪利克雷卷积

3.1定义单位函数

\[\epsilon(x)=[x=1] \]

​ 易见单位函数是积性函数

3.2定义除数函数

\[\sigma_k(n)=\sum_{d|n}d^k \]

​ 约数个数\(\sigma_0\)常记作d 约数和常记作 \(\sigma_1\)常记作\(\sigma\)

​ 易见所有除数函数均为积性函数 显然利用普通卷积可证得

3.3欧拉函数\(\varphi(x)\)表示小于x且与x互质的数的个数

​ 显然当x为素数时 \(\varphi(x)=x-1\)

​ 利用容斥原理 发现

\[\begin{align} \varphi(x)&=x-\sum_{p_i}[\frac x {p_i}]+\sum_{p_i,p_j}[\frac x {p_ip_j}]-\sum_{p_i,p_j,p_k}[\frac x {p_ip_jp_k}]... \\ &=x(1-\sum_{p_i}[\frac 1 {p_i}]+\sum_{p_i,p_j}[\frac 1 {p_ip_j}]-\sum_{p_i,p_j,p_k}[\frac 1 {p_ip_jp_k}]...) \\ &=x(1-\frac 1 p_i)(1-\frac 1 p_j)(1-\frac 1 p_k)... \end{align} \]

​ 发现该显式表达指出了欧拉函数具有积性

​ 一个性质：

​ 对于任意n

\[n=\sum_{n|d}\varphi(\frac n d)=\sum_{n|d}\varphi(d) \]

​ 证明：

​ 若\(gcd(n,i)=d\) 则\(gcd(\frac n d,\frac i d)=1\) 故这样的i有\(\varphi(\frac n d)\) 个

​ 考虑所有n|d就考虑了所有小于等于n的整数

​ 故得证

3.3Dirichlet 卷积

​ 定义两个数论函数f,g 的Dirichlet卷积为h

\[h(n)=\sum_{d|n}f(d)g(\frac n d) \]

​ 计作h=f*g

3.4定义幂函数\(Id_k(x)=x^k\)

​ 一般将\(Id_1计作Id\)

3.5莫比乌斯函数

\[\mu(n)=\begin{cases}1 ,&(n=1) \\(-1)^s ,&n=p_1...p_s& \\0 &others\end{cases} \]

​ \(p_1...p_s\)是不同素数

​ 可以看出，µ(n) 恰在 n 无平方因子时非零。

​ 易见 µ 是积性函数。

3.6可用迪利克雷卷积表示的函数关系

​ 3.6.1\(\epsilon_k=1*Id_k\) 显然

​ 3.6.2\(Id=1*\varphi\) 已证明

​ 3.6.3\(\epsilon=1*\mu\)

​ 证明：n=1时显然成立

​ 对于n>1 设n有s个素因子 由于莫比乌斯函数

​ 只在d无平方因子时不为零 故只需考虑d中各素因子次数为0或1的情形

​ 故

\[\sum_{d|n}\mu(d)=\sum^s_{k=0}(-1)^k\binom s k=(1-1)^s=0 \]

​ 得证

4.莫比乌斯变换

​ 4.1 若f是数论函数 \(g=f*1\) 则称g是f的莫比乌斯变换 f是g的莫比乌斯逆变换

​ 4.2 \(f=g*\mu \Leftrightarrow g=f*1\)

​ 证明

​ \(f=f*\epsilon=f*1*\mu=g*\mu\)

​ 十分显然

​ 4.3利用 Dirichlet 卷积可以解决一系列求和问题。常见做法是使用 一个 Dirichlet 卷积替 换求和式中的一部分，然后调换求和顺序， 最终降低时间复杂度。

二 一些例题

1 公约数的和

对于这类题的一个想法是枚举gcd的值 因为发现

\(gcd(n,m)=d\Leftrightarrow gcd(\frac n d,\frac m d)=1\)

这样对于枚举上界相等的情形 就可以使用欧拉函数草过去

对于枚举上界不等的情形 就可以使用\(\epsilon\)函数判\(1\)日过去

回到本题 我们枚举gcd的值然后直接计数\(\varphi(\frac n d)\)再乘回d

2 longge的问题

​

发现符合上述套路

我们直接\(\frac n d\)的求欧拉函数即可 然而发现此时欧拉函数并不被连续使用

可以依据封闭形式直接计算

3 YY 的 GCD

依然适用上述套路

发现单位函数可作艾弗森约定只用 若等值不为1 运用除法即可

\[\begin{align} \sum^n_x\sum^m_y\epsilon(gcd(x,y))&=\sum^n_x\sum^m_y1*\mu(gcd(x,y)) \\ &=\sum^n_x\sum^m_y\sum_{d|gcd(x,y)}\mu(d) \\ &=\sum_d^{min(n,m)}\sum^n_{d|x}\sum^m_{d|y}\mu(d) \\ &=\sum_d^{min(x,m)}\mu(d)[\frac n d][\frac m d] \end{align} \]

回到原题

\[\begin{align} \sum_p\sum^n_{x=1}\sum^m_{y=1}[gcd(x,y)=p]=&\sum_p\sum^{\frac n p}_{x=1}\sum^{\frac m p}_{y=1}\epsilon(gcd(x,y)) \\ =&\sum_p\sum^{\frac n p}_{x=1}\sum^{\frac m p}_{y=1}\sum_{d|gcd(x,y)}\mu(d) \\ =&\sum_p\sum_d\mu(d)[\frac n {pd}][\frac m {pd}] \\ =&\sum_t^{min(n,m)}[\frac n t][\frac m t]\sum_{p|d}\mu(\frac p d) \end{align} \]