点分治入门经典

点分治

点分治是解决一类树上计数问题的有效方法
可以通过分治达到较优的复杂度

一个例子

给定一棵有 n 个点的树，询问树上距离为 k 的点对是否存在。
考虑暴力怎么做 是不是枚举点对 求路径长度 显然 这样做在通过各种预处理后最优复杂度仍是n*n的
我们可以分治 考虑在每颗子树中的点对的路径长度 显然 对于必经过子树的根的路径我们可以O(n)的求出其是否满足题设条件
然而 若不断随机分割子树并不能达到使复杂度稳定的目的 我们可以寻找树的重心并以此分割
这样可以达到二分的效果 并使总复杂度成为O(nlogn)

例子的代码

#include<bits/stdc++.h> 
using namespace std;
const int maxn=10010,bign=10001000;
int n,m,tmp[bign],judge[bign];
int sz[maxn],vis[maxn];
int head[maxn],qt[maxn];
int size,maxp[maxn];
int tot,rt,dis[maxn];
int q[bign],ynn[maxn];
struct edge{
	int next,to,dis;
}e[maxn*2];
inline void addedge(int next,int to,int dis)
{
	e[++size].to=to;
	e[size].dis=dis;
	e[size].next=head[next];
	head[next]=size;
}
inline void find(int t,int fat)
{
	int i,j;
	sz[t]=1;
	maxp[t]=0;
	for(i=head[t];i;i=e[i].next)
	{
		j=e[i].to;
		if(j==fat||vis[j]) continue;
		find(j,t);
		sz[t]+=sz[j];
		maxp[t]=max(sz[j],maxp[t]);
	}
	maxp[t]=max(maxp[t],tot-sz[t]);
	if(maxp[t]<maxp[rt]) rt=t;
}
inline void getdis(int t,int fat)
{
	tmp[++tmp[0]]=dis[t];
	int i,j,k;
	for(i=head[t];i;i=e[i].next)
	{
		j=e[i].to;
		k=e[i].dis;
		if(vis[j]||j==fat) continue;
		dis[j]=dis[t]+k;
		getdis(j,t);
	}
}
inline void cc(int t)
{
	int p=0,i,j,k,l;
	for(i=head[t];i;i=e[i].next)
	{
		j=e[i].to;
		k=e[i].dis;
		if(vis[j]) continue;
		tmp[0]=0;
		dis[j]=k;
		getdis(j,t);
		for(k=tmp[0];k;k--)
		for(l=1;l<=m;l++) if(qt[l]>=tmp[k]) ynn[l]|=judge[qt[l]-tmp[k]];  
		for(k=tmp[0];k;k--) q[++p]=tmp[k],judge[tmp[k]]=1;  
	}
	for(i=p;i;i--) judge[q[i]]=0; 
}
inline void divid(int t)
{
	int i,j;
	vis[t]=judge[0]=1; cc(t);
	for(i=head[t];i;i=e[i].next)
	{
		j=e[i].to;
		if(vis[j]) continue;
		tot=sz[j];
		maxp[rt=0]=bign;
		find(j,0);
		divid(rt);
	}
}
int main()
{
	ios::sync_with_stdio(false);
	register int i,h;
	int t1,t2,t3;
	cin>>n>>m;
	for(i=1;i<n;i++)
	{
		cin>>t1>>t2>>t3;
		addedge(t1,t2,t3);
		addedge(t2,t1,t3);
	}
	for(i=1;i<=m;i++) cin>>qt[i];
	maxp[rt=0]=n;
	tot=n;
	find(1,0);
	divid(rt);
	for(i=1;i<=m;i++) 
	{
		if(ynn[i]) cout<<"AYE"<<endl;
		else cout<<"NAY"<<endl;
	}
	return 0;
}

简明易懂