生成函数入门经典
0.1
我大概在两个月前听说了生成函数 然后就一直想学 但一直找不到蒟蒻我看得懂的资料
观赏巨神用生成函数解各种炫酷的递归式 很羡慕qwq
近些天有时间了就通读了一遍具体数学 但蒟蒻我太菜了 只能了解一些定义
所以本篇只是普通型生成函数的一点点定义 巨神勿喷
（有空了可能会更新qwq）
0.5 前置知识
（这里会列一些书）
幂级数
同济大学高等数学下册
最基础的微积分
同济大学高等数学上册
递归式与和式的一些处理技巧
具体数学
可能需要一些数列知识
选择性必修2
1 引入
对于一个数列 我们有时需要对它进行一些操作
如左移、右移、与某系数相乘、使其正负交错、与某数列相加、与某数列卷积等等
此时某路过的巨神说：你好菜 用通项公式不就好了qwq
通项公式那么好求还要nmd生成函数
果然巨神就是巨神 瞧一眼就知道通项
我错了我错了
既然不知道通项
那我们引入另一种数学工具 用某个函数来表示这个数列 以此通过一个式子获得数列的全部信息
普通型生成函数
指数型生成函数
狄利克雷生成函数
因为蒟蒻我太菜了 所以现在只讨论普通型qwq
可以看到 普通型生成函数将数列的全部信息都放进了一个函数中 并且函数后有一个幂级数 所以大概率在某个取值处无穷级数收敛 就算不收敛 也可以得到一个封闭形式 并且大概率是一个分式
注意：这里生成函数的自变量z被称为形式级数 收敛称为形式收敛
换句话说 我们并不真的关注函数是否收敛 z的幂次数只用来标记这是数列的哪一项 只要得到封闭形式就行
2基本操作
2.1右移
显而易见
2.2左移
即构造前m个数被删除的序列
先减去前m项 再除
2.3交错
用常数倍cz代替z
当c=-1时 得到原数列正负交错的数列的生成函数
2.4求导
我们得到了将一个求和因子n下放为因数的序列的生成函数
再右移一位
这很有用qwq
2.5积分
可以看做求导的逆运算
2.6卷积
把两生成函数相乘
是不是很眼熟 这就是卷积
另 将生成函数与1/(1-n)相卷就得到了数列前缀和的生成函数
3一些例子
作为一个特例
这是数列1,1,1,1...的生成函数 所以卷积是前缀和
另
3.2证明斐波那契数列通项公式
设feb之生成函数为F(z)
则分别将其与其右移一位之函数与右移两位之函数纵列
此时你可能惊讶于我恶心的对齐 不过不要慌
首先考虑feb之递归式 然后将纵列对齐的部分相减 我们得到
对F(z)求解即得其生成函数封闭形式
对于通项公式 我们的目标是求
因为看起来这很像而且等号左边二式之和的通项公式很易确定
