『笔记』数学概率与期望

数学概率与期望

标签（空格分隔）： 数学

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概率

定义

概率是 \(0\) 和 \(1\) 之间的一个数目，表示某个事件发生的可能性或者经常程度

例题

庄家和玩家

有三个骰子，如果至少有一个 \(6\) 向上，那么就是玩家赢一些钱，反之庄家赢一块钱，询问在分别出现\(1,2,3\)个 \(6\) 时，玩家应该赢得多少钱游戏才较为公平

答：一个：一元；两个：三元;三个：五元

生日悖论

有 \(n\) 个人，按照一年有 \(365\) 天计算（先不考虑大于\(365\)人的情况）

1、出现生日相同的概率是多少?

2、同一天生日的人有多少对？

3、有多少人生日相同？

考虑生日相同的人的概率（也就是\(1-\)生日不相同的概率）

\[1-\frac{364}{365}\times \frac{363}{365}\times…、\times \frac{365-n}{365} \]

考虑生日相同的人有多少对

想一个人相对于其他所有人的情况，那么每个人的生日是占\(\dfrac{1}{365}\),那么一一配对比较以后的总的概率加起来就是\(\dfrac{n(n-1)}{365}\),那么最后得出来的是

\[\frac{n(n-1)}{365}\times \frac{1}{2} \]

因为是无序的，会导致算两遍，所以需要\(÷2\)

考虑有多少人生日相同，要注意，和上面的题目并不一样，就比如假设生日相同的人一共有 \(3\) 对，那么如果出现这三个人的生日都相同的情况，那么就是三人三对，如果是简单的用第二问的结论的变两倍正确性不高。

思考一下，首先考虑一个人的情况，概率为 \(1\) ，再考虑两个人，生日一共有 \(365\) 种，那么两个人相同的概率即为\(1-\dfrac{364}{365}\)

那么对于 \(n\) 个人，可以的出来的式子就是生日相同的概率为 \(1-(\dfrac{364}{365})^n\)

因为共有 \(n\) 个人 所以最终得出来的答案即为，生日相同的人一共有

\[n\times(1-(\frac{364}{365})^n) \]

期望

定义

数学期望就是对于随机事件不同结果的概率加权求平均

数学期望:\(E(X)=\sum(p(s)* X(s))\)

应用

魔球理论

篮球有三种得分方式:篮下进攻和中距离投中都是2分，
而三分球投中得 \(3\) 分。当然，距离越远投篮命中率一般就
会越低。总之，篮下投篮命中率为55%，中距离投篮命中
率为 \(45\) %，三分投篮命中率 \(35\) %，但是得分高。哪种得分
方式更有效率呢？
\(E(\text{篮下})=2\times55\)%\(+0\times 45\)%\(=1.1\)；
\(E(\)中距离\()=2\times 45\)%\(+0\times55\)%\(=0.9\)；
\(E(\)三分球\()=3\times 35\)%\(+0\times 65\)%$ 1.05$

抛硬币问题1

有一个硬币，抛 \(n\) 次，问正面向上的期望是多少？

方法一：组合数学

考虑 \(n\) 次有 \(0\) 次向上，有1次向上，到有 \(n\) 次向上。因为一共是有正反两种情况，所以要有\(\frac{1}{2}\)

\[E(n)=\frac{1}{2^n}\times \sum^{n}_{k=0}C^{k}_{n}\times k \]

方法二：概率

每一次正面向上的概率为\(\dfrac{1}{2}\),一共抛了\(n\)次，那么得出来的期望就是

\[\frac{n}{2} \]

两种是一样的

抛硬币问题2

有 \(1\) 个硬币，期望抛多少次才回首次出现连续的 \(n\) 个正面

显然不知道=_=(自行百度)

抛硬币问题3

连续抛硬币，如果出现正正反, \(A\) 赢，如果出现反正正则 \(B\)
赢，问双方胜负的概率是多少？
首先考虑出现的情况

\(S_A=zzf+zzzf+zzzzf+……\)

\(S_B=fzz+ffzz+zfzz+……\)

通过枚举抛 \(n\) 次的所有情况，手模一下，可以发现，\(B\) 每赢三次，\(A\) 都会赢一次

那么双方胜负的概率约为 \(A:B=1:3\)

具体证明

（假设\(ZZF\)是\(A\)，\(ZFF\)是\(B\)）由于获胜条件第一个是\(Z\)，可以去掉前面所有的\(F\)，如果第一个\(Z\)后是\(Z\)，那必然\(A\)赢；如果第一个\(Z\)后是\(F\)，则看第三个，第三个是\(F\)则\(B\)赢，是\(Z\)则去掉前两个\(ZF\)，从第三个\(Z\)开始，重复推理过程。设\(A\)赢的概率为\(x\)，则\(x=0.5*1（ZZ\)开头，必然\(A\)赢）\(+0.25*0（ZFF\)开头，\(B\)赢）\(+0.25x（ZFZ\)开头，递归）

抢红包问题1

有\(n\)个红包，每个红包的钱数各不相同，你打开一个红包，看到钱
数后可以选择收或丢弃。如果收了，你就不能再打开其它的红包了。
如果丢弃，可以在没有打开的红包中重新选择一个打开。你只能收
一个红包，丢弃的红包不能再选。问收到最大的红包的概率是多少？
如何选择才？

首先打开第一个红包作为参考值，首先。四个红包有四分之一的概率，然后，分别考虑每一个是最大的情况

\[\frac{1}{4}(0+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3})=\frac{11}{24} \]

概率为\(45\)%

总的公式为：

\[P(S)=\frac{s}{n}(\sum^{n-1}_{k=s}\frac{1}{k}) \]

抢红包问题2

有\(4\)个红包，\(1\)个红包里有钱，\(3\)个红包是空的，我知道哪
个红包有钱，而你不知道，你先选中一个红包，我打开另
一个空的红包，此时你可以重新选择一个红包，问你是否
愿意重新选择？

当我们最开始选的时候因为并不知道，所以第一个红包里有钱的概率为\(\dfrac{1}{4}\)。

如果第一个红包里有钱，另外又被打开了一个空的红包，那么想打开第二个红包继续选的概率为\(\dfrac{1}{4}\times \dfrac{1}{2}\)。

另外如果第一个红包包里没有钱，那么为\(\dfrac{3}{4}\times \dfrac{1}{2}\times 1\)。

那么总共为 \(\dfrac{3}{8}\)

或者直接考虑，四个红包，\(A、B、C、D\)，你选\(A\)，如果\(A\)有钱，重新选，肯定是没钱的；如果A没钱，然后打开没钱的红包\(B\)，你在\(C、D\)中选择，有二分之一有钱，总概率是\(0.75 \times 0.5=0.375\)，大于直接选的\(0.25\)

两个均为为\(\dfrac{3}{8}\)

抢红包问题3

有 \(n\) 个红包，\(a\) 个红包里有钱，其它红包是空的，我知道哪
个红包有钱，而你不知道，你先选中一个红包，我打开
\(c(c<n-a)\) 个空的红包，此时你可以换一个红包，问你选
中红包的概率最大是多少？

1、如果要换

先考虑第一个是有钱的概率，那么为\(\dfrac{a}{n}\times \dfrac{a-1}{n-c-1}\)

另外假设第一个选了不是红包的，那么为\(\dfrac{n-a}{n}\times \dfrac{a}{n-c-1}\)

总和起来就是:\(\dfrac{a(n-1)}{n\times (n-c-1)}\)

2、如果不换：\(\dfrac{a}{n}\)

卡片收集1

每包零食里有一张卡牌，总共有\(N (1 <= N <= 20)\)种
不同的卡牌，得到这N种卡牌的概率相同\((1 <= i <= N)\)。求收集到所有卡牌的期望是多少。

\[E(i)=\frac{n-i}{n}\times E(i+1)+\frac{i}{n}E(i)+1 \]

\(E(n)=0\),考虑递推求解

卡片收集2

每包零食里有一张卡牌，总共有 \(N (1 <= N <= 20)\) 种
不同的卡牌，得到这 \(N\) 种卡牌的概率不同，分别为
\(P[i](1 <= i <= N)\)。求收集到所有卡牌的期望是多少。

1、状压DP

\[f(s)=\sum f(s|i)\times p_i+(1-\sum_{i\in s}p(i)) \]

2、容斥原理

$ E1 = 1/P1，E2 = 1/P2，E12(\(表示肯定买到1或2其中一包的期望\)) = 1/(P1+P2)。$

当我们计算\(E1\)和\(E2\)的时候，\(E12\)是重复计算了\(2\)次，应该减去一次。根据容斥定理可知：

\(E = E1 + E2 - E12。\)

同理，三张牌的时候：

\(E = E1 + E2 + E3 - E12 - E13 - E23 + E123。\)

以此类推，当计算期望中的各项的时候，如果该项为奇数项(奇数张卡的期望)，则加上该项。

如果该项为偶数项\(2\)(偶数项卡的期望)，则减去该项。