(BC 一周年) hdu 5312 Sequence

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问题描述

Soda习得了一个数列, 数列的第nn (n \ge 1)(n≥1)项是3n(n-1)+13n(n−1)+1. 现在他想知道对于一个给定的整数mm, 是否可以表示成若干项上述数列的和. 如果可以, 那么需要的最小项数是多少?

例如, 22可以表示为7+7+7+17+7+7+1, 也可以表示为19+1+1+119+1+1+1.

输入描述

输入有多组数据. 第一行有一个整数TT (1 \le T \le 10^4)(1≤T≤10​4​​), 表示测试数据组数. 然后对于每组数据:

一行包含1个整数 mm (1 \le m \le 10^9)(1≤m≤10​9​​).

输出描述

对于每组数据输出最小花费.

输入样例

10
1
2
3
4
5
6
7
8
22
10

输出样例

1
2
3
4
5
6
1
2
4
4

比赛的时候没做出来.这道题需要用到的一个重要的性质是,任意一个自然数可以表示成至多三个三角形数(1,3,6,10,15.....)的和(orz高斯)然后也有推广到任意自然数可以表示成k个k角形数的和的结论(费马提出了猜想,柯西给了证明)然后官方题解说的比较好:

这个题看上去是一个贪心, 但是这个贪心显然是错的. 事实上这道题目很简单, 先判断1个是否可以, 然后判断2个是否可以. 之后找到最小的k (k > 2)k(k>2), 使得(m - k) mod 6 = 0(m−k)mod6=0即可.

证明如下: 3n(n-1)+1 = 6(n*(n-1)/2)+13n(n−1)+1=6(n∗(n−1)/2)+1, 注意到n*(n-1)/2n∗(n−1)/2是三角形数, 任意一个自然数最多只需要3个三角形数即可表示. 枚举需要kk个, 那么显然m=6(km=6(k个三角形数的和)+k)+k, 由于k \ge 3k≥3, 只要m-km−k是6的倍数就一定是有解的.

事实上, 打个表应该也能发现规律.

 另外还有一点,特判一个和两个的情况时,一个的好判断,扫一遍就好了

两个的话,由于这个数列是递增的,我们可以从两边往中间,算是一个不错的优化,具体见代码.

/*************************************************************************
    > File Name: code/nv/#ann/1003.cpp
    > Author: 111qqz
    > Email: rkz2013@126.com
    > Created Time: 2015年07月28日 星期二 23时03分09秒
 ************************************************************************/

#include<iostream>
#include<iomanip>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<string>
#include<map>
#include<set>
#include<queue>
#include<vector>
#include<stack>
#define y0 abc111qqz
#define y1 hust111qqz
#define yn hez111qqz
#define j1 cute111qqz
#define tm crazy111qqz
#define lr dying111qqz
using namespace std;
#define REP(i, n) for (int i=0;i<int(n);++i)
typedef long long LL;
typedef unsigned long long ULL;
const int inf = 0x7fffffff;
const int N=1E5+7;
int k,m,f[N];
void init()
{
    for ( int i = 1 ; i <N; i++)
    {
    f[i]=3*i*(i-1)+1;
    if (f[i]>1000000000)
    {
        k = i-1;
        break;
    }
    }
}
int solve (int x)
{
    for ( int i = 1 ; f[i]<=x ; i++ )
    {
    if (x==f[i])
        return 1;
    }
    int j = k;
    for ( int i = 1 ; i <= k-1&&f[i]<x ; i++)     //因为数列递增,所以可以这样写.
    {
    while(f[i]+f[j]>x) j--;
    if (f[i]+f[j]==x) return 2;
    }
    for ( int i = 3 ; i <= m ; i++ )
    {
    if ((m-i)%6==0)
        return i;
    }
}
int main()
{
    int T;
    init();
    cin>>T;
    int ans;
    while (T--)
    {

    scanf("%d",&m);
    cout<<solve(m)<<endl;

    }

    return 0;
}