贝尔数(集合的划分数目)

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在组合数合里，贝尔数给出了集合划分的数目，以数学家埃里克·坦普尔·贝尔（Eric Temple Bell）命名，是组合数学中的一组整数数列。[1] 

以B₀= B₁=1为始， 首几项的贝尔数为：1, 1, 2, 5, 15, 52, 203, 877, 4140, 21147, 115975, …（OEIS的A000110数列）

B_n是基数为n的集合划分数目。集合S的一个划分是定义为S的两两不相交的非空子集的族，它们的并是S。例如B₃ = 5因为3个元素的集合{a, b, c}有5种不同的划分方法：

• {{a}, {b}, {c}}
• {{a}, {b, c}}
• {{b}, {a, c}}
• {{c}, {a, b}}
• {{a, b, c}}

B₀是1因为空集

正好有1种划分方法。划分的定义要求空集的划分中的每个成员都是非空集合，而它们的并是

本身。所以

是它自身的唯一划分。（这是定义所允许的因为

）

2公式编辑

贝尔数适合递推公式：

它们也适合“Dobinski公式”：

期望值为1的泊松分布的''n''次矩。

它们也适合“Touchard同余”：若p是任意质数，那么

每个贝尔数都是"第二类Stirling数"的和

Stirling数S（n, k）是把基数为n的集划分为正好k个非空集的方法的数目。

把任一概率分布的n次矩以首n个累积量表示的多项式，其系数和正是第n个贝尔数。这种数划分的方法不像用Stirling数那个方法粗糙。

贝尔数的指数母函数是

3贝尔三角形编辑

用以下方法建构一个三角矩阵（形式类似杨辉三角形）：

(1) 第一行第一项是1（a_{1,1} = 1）

(2) 对于n>1，第n行第一项等同第n-1行最后一项。（

）

(3) 对于m,n>1，第n行第m项等于它左边和左上方的两个数之和。（

）

结果如下：（OEIS的A011971数列[2] ）

每行首项是贝尔数。每行之和是第二类Stirling数。

这个三角形称为贝尔三角形、Aitken阵列或Peirce三角形（Bell triangle, Aitken's array, Peirce triangle）。