Array

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题意：
对于长度为n的数组A，A中只包含从1到n的整数（可重复）。如果A单调不上升或单调不下降，A就可称为美丽的。 找出在长度为n时，有几个美丽的A。
思路：
首先考虑单调不下降的情况，令序列[x₁,x₂,x₃,...,x_n-1,x_n]，其中x_i表示数字i的个数，可得x₁+x₂+x₃+...+x_n-1+x_n=n，每一种x序列代表着一种美丽数组A，例如n=3,x₁=0,x₂=1,x₃=2,x序列为[0,1,2],数组A为[2,3,3],故求出x序列的方案数,则为美丽数组的方案数。考虑隔板法，有n个1，n-1个隔板，上述例子用隔板法表示则为： |1|11 ，总共n+n-1=2n-1个位子，其中有n个位子是1，所以方案数为C(2n-1,n);考虑上单调不上升的情况，与单调不下降的情况恰恰对称，故总方案数为2C(2n-1,n);注意到序列[1,1,1],[2,2,2],...,[n,n,n]在单调不上升和单调不下降中都算了一次，实际方案数为2C(2n-1,n)-n；具体实现看代码细节。

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#pragma GCC optimize("O3")
#pragma G++ optimize("O3")
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define endl '\n'
#define ll long long 
const ll N = 1e5+5;
ll mod=1000000007;
ll jc[N*10];
ll pw(ll a,ll b){
    ll ans=1;
    while(b){
        if(b&1){
            ans=ans*a%mod;
        }
        a=a*a%mod;
        b>>=1;
    }
    return ans;
}
void solve(){
    ll n;
    cin>>n; //读取n
    if(n==1){
        cout<<1<<endl; //n为1时方案数为1，先处理掉
        return ;
    }
    //答案化简成阶乘形式
    ll x=1;
    for(ll i=1;i<=2*n+1;++i){ //预处理出每一个数的阶乘
        x*=i;
        x%=mod; //每次计算取模
        jc[i]=x;
    }
    ll ans=2*jc[2*n-1]%mod;
    //涉及到除法之后取模，逆元的应用
    ans=ans*pw(jc[n],mod-2)%mod; 
    ans=ans*pw(jc[n-1],mod-2)%mod;
    ans-=n;
    cout<<ans<<endl;//输出答案
}
signed main(){
    ios::sync_with_stdio(0),cin.tie(0),cout.tie(0);
    ll _=1;
    // cin>>_;
    while(_--)
    solve();
    return 0;
}