AT_arc188_a [ARC188A] ABC Symmetry 题解

容易发现一个串是好的的充要条件是：A,B,C 出现次数的奇偶性都相同。因此我们也可以将所有的串分为四类：好的，只有 A 和其他两个的奇偶性不同，只有 B 和其他两个的奇偶性不同，只有 C 和其他两个的奇偶性不同。

大于 \(k\) 的不好统计，可以直接用总数减去小于 \(k\) 的总和。

设 $ f_{i,x,g,a,b,c} $ 为到第 \(i\) 个时，已经凑成了 \(x\) 个好的字串，此时所有后缀中，上面说的四类串分别有 \(g,a,b,c\) 个。那么转移方程就显而易见了。

当第 \(i\) 个字符给定且为 A 时：

\[f_{i,x,g,a,b,c} \rightarrow f_{i+1,x+a,g+1,c,b} \]

当第 \(i\) 个字符给定且为 B 时：

\[f_{i,x,g,a,b,c} \rightarrow f_{i+1,x+b,c,g+1,a} \]

当第 \(i\) 个字符给定且为 C 时：

\[f_{i,x,g,a,b,c} \rightarrow f_{i+1,x+c,b,a,g+1} \]

当第 \(i\) 个字符为 ? 时，上面三种转移都进行。

时间复杂度 \(O(n^7)\) 难以通过。

显然 $ g = i - a - b - c$ 所以可以省掉一维，时间复杂度变为 $ O(n^6) $。

直觉上不能过，但你滚动数组之后就直接过了。因为首先 h好串数量一定小于 \(\dfrac{n^2}{4}\)，毕竟如果 \(s_{l \dots r}\) 是好串，那么 $ s_{l-1 \dots r} $ 就一定不是。其次 $ a + b + c \le n$，相当于有带了 \(\dfrac{1}{6}\) 的小常数。所以算一下就是对的。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
inline void rd(){}
template<typename T,typename ...U>
inline void rd(T &x,U &...args){
	char ch=getchar();
	T f=1;x=0;
    while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
    while(ch>='0'&&ch<='9')x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48),ch=getchar();
	x*=f;rd(args...);
}
const int N=55,mod=998244353;
int f[2][N*N/4][N][N][N],n,k;
char s[N];
inline int KSM(int x,int n){
	int ans=1;
	while(n){
		if(n&1)ans=1ll*ans*x%mod;
		x=1ll*x*x%mod;
		n>>=1;
	}return ans;
}
signed main(){
	rd(n,k);
	if(k>n*(n+10)/4){
		printf("0\n");
		return 0;
	}
	scanf("%s",s+1);
	int t=0,cnt=0;
	for(int i=0;i<n;i++){
		t^=1;
		if(s[i+1]=='?')++cnt;
		if(!i)f[t][0][0][0][0]=1;
		for(int x=0;x<=min(k,i*(i+1)/2);x++){
			for(int A=0;A<=i;A++){
				for(int B=0;B+A<=i;B++){
					for(int C=0;A+B+C<=i;C++){
						int G=i-A-B-C;
						if(s[i+1]=='A'){
							f[t^1][x+A][G+1][C][B]+=f[t][x][A][B][C];
							if(f[t^1][x+A][G+1][C][B]>=mod)f[t^1][x+A][G+1][C][B]-=mod;
						}else if(s[i+1]=='B'){
							f[t^1][x+B][C][G+1][A]+=f[t][x][A][B][C];
							if(f[t^1][x+B][C][G+1][A]>=mod)f[t^1][x+B][C][G+1][A]-=mod;
						}else if(s[i+1]=='C'){
							f[t^1][x+C][B][A][G+1]+=f[t][x][A][B][C];
							if(f[t^1][x+C][B][A][G+1]>=mod)f[t^1][x+C][B][A][G+1]-=mod;
						}else{
							f[t^1][x+A][G+1][C][B]+=f[t][x][A][B][C];
							if(f[t^1][x+A][G+1][C][B]>=mod)f[t^1][x+A][G+1][C][B]-=mod;
							f[t^1][x+B][C][G+1][A]+=f[t][x][A][B][C];
							if(f[t^1][x+B][C][G+1][A]>=mod)f[t^1][x+B][C][G+1][A]-=mod;
							f[t^1][x+C][B][A][G+1]+=f[t][x][A][B][C];
							if(f[t^1][x+C][B][A][G+1]>=mod)f[t^1][x+C][B][A][G+1]-=mod;
						}
						f[t][x][A][B][C]=0;
					}
				}
			}
		}
	}
	t^=1;
	int ans=0;
	for(int i=0;i<k;i++){
		for(int A=0;A<=n;A++)
			for(int B=0;B+A<=n;B++)
				for(int C=0;A+B+C<=n;C++)(ans+=f[t][i][A][B][C])%=mod;
	}
	printf("%d\n",(KSM(3,cnt)-ans+mod)%mod);
	return 0;
}