P10536 [Opoi 2024] 二十六点 题解

比较直接的做法。

当 \(P_x = 1\) 时显然可以暴力 DP，设 \(f_{x,c}\) 表示 \(x\) 的子树中以 \(c\) 开头的最长不下降子序列的长度。直接转移即可。

\(P_x \neq 1\) 的时候呢？我们发现，所谓“忽略掉这些路径中的第 \(2\) 到第 \(P_x\) 个的点”，代表的就是按照深度转移，大概就是这样：

只和深度有关，很难不想到长链剖分，套板子即可。

转移方程（其中 \(mxdep\) 代表其最大深度）

\[ans = \begin{cases} 1 \quad P_x \ge mxdep_x\\ max_{f_{dfn_x+P_x,c}} \quad c<c_x\\max_{f_{dfn_x+P_x,c}}+1 \quad c \ge c_x\end{cases} \]

一定要在回溯时就统计答案，要不然答案就会被祖先覆盖然后就会和我一样寄掉。

时间复杂度 \(O(n\left|\Sigma\right|)\)。

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
inline void rd(){}
template<typename T,typename ...U>
inline void rd(T &x,U &...args){
	char ch=getchar();
	T f=1;x=0;
    while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
    while(ch>='0'&&ch<='9')x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48),ch=getchar();
	x*=f;rd(args...);
}
const int N=1e5+5;
char ch[N];
int n,p[N],fst[N],nxt[N<<1],v[N<<1],idx;
void Add(int a,int b){
	v[idx]=b,nxt[idx]=fst[a];
	fst[a]=idx++;
}
int mxdep[N],son[N],dfn[N],cnt;
int ans[N];
void DFS(int x,int f){
	mxdep[x]=1;
	for(int i=fst[x];~i;i=nxt[i]){
		int y=v[i];
		if(y==f)continue;
		DFS(y,x);
		mxdep[x]=max(mxdep[x],mxdep[y]+1);
		if(mxdep[y]>mxdep[son[x]])son[x]=y;
	}
}
void DFS2(int x,int f){
	dfn[x]=++cnt;
	if(son[x])DFS2(son[x],x);
	for(int i=fst[x];~i;i=nxt[i]){
		int y=v[i];
		if(y==f||y==son[x])continue;
		DFS2(y,x);
	}
}
int f[N][30],c[N];
void Solve(int x,int fa){
	if(son[x])Solve(son[x],x);
	for(int i=fst[x];~i;i=nxt[i]){
		int y=v[i];
		if(y==fa||y==son[x])continue;
		Solve(y,x);
		for(int j=1;j<=mxdep[y];j++){
			for(int k=1;k<=26;k++){
				f[dfn[x]+j][k]=max(f[dfn[x]+j][k],f[dfn[y]+j-1][k]);
			}
		}
	}
	if(son[x])for(int i=1;i<=26;i++)f[dfn[x]][i]=max(f[dfn[x]][i],f[dfn[x]+1][i]);
	for(int i=c[x];i<=26;i++)f[dfn[x]][c[x]]=max(f[dfn[x]][c[x]],f[dfn[x]][i]+1);
	int pls=0;
	if(p[x]==1){
		for(int j=1;j<=26;j++){
			ans[x]=max(ans[x],f[dfn[x]][j]);
		}
	}else{
		if(p[x]>=mxdep[x])ans[x]=1;
		else{
			for(int j=1;j<=26;j++){
				if(j>=c[x])pls=1;
				ans[x]=max(ans[x],f[dfn[x]+p[x]][j]+pls);
			}
		}
	}
}
signed main(){
	memset(fst,-1,sizeof fst);
	rd(n);
	for(int i=1;i<=n;i++)rd(p[i]);
	scanf("%s",ch+1);
	for(int i=1;i<=n;i++)c[i]=ch[i]-'a'+1;
	for(int i=1;i<n;i++){
		int x,y;rd(x,y);
		Add(x,y);Add(y,x);
	}
	DFS(1,1);DFS2(1,1);
	Solve(1,1);
	for(int i=1;i<=n;i++)printf("%d\n",ans[i]);
	return 0;
}