【原】概率论——第一章第2节
第一章 随机事件与概率
1.2 概率的定义
一 事件域
事件域的定义:设$\Omega$为一样本空间,$\mathcal{F}$为$\Omega$的某些子集所组成的集合类,如果$\mathcal{F}$满足:
- $\Omega \in \mathcal{F}$;
- 若$A \in \mathcal{F}$,则对立事件$\overline A \in \mathcal{F}$;
- 若$A_n \in \mathcal{F},\quad n=1,2,\cdots$,则可列并$\bigcup\limits_{n=1}^{+\infty} A_n \in \mathcal{F}$。
我们称$\mathcal{F}$为一个事件域,又称为$\sigma$代数。
例1 常见的事件域:
- 若样本空间只含两个样本点:$\Omega=\{\omega_1,\omega_2\}$,记$A=\{\omega_1\}$,$\overline A=\{\omega_2\}$,则事件域为$\mathcal{F}=\{\emptyset,A,\overline A,\Omega\}$;
- 设$\Omega$是一个样本空间,$A\subset\Omega$(可测),则$F_1=\{\emptyset,\Omega\}$,$F_2=\{\emptyset,A,\overline A,\Omega\}$都是事件域;
- 若样本空间含有$n$个样本点:$\Omega=\{\omega_1,\omega_2,\cdots,\omega_n\}$,则其事件域$\mathcal{F}$是由空集$\emptyset$,$n$个单元素,${n\choose 2}$个双元素,${n\choose 3}$个三元素,$\cdots$和$\Omega$组成的集合类。这时$\mathcal{F}$中共有${n\choose 0}+{n\choose 1}+\cdots+{n\choose n}=2^n$个事件;
- 设$\Omega=(a,b)$(区间),则$F=\{(a,b)上的全部可测集\}$也是事件域。
二 概率的公理化定义
设$\Omega$为一个样本空间,$\mathcal{F}$为$\Omega$的某些子集组成的一个事件域。如果对任一事件$A \in \mathcal{F}$,定义在$\mathcal{F}$上的一个实值函数$P(A)$满足:
- 非负性公理:若$A \in \mathcal{F}$,则$P(A)\ge 0$;
- 正则性公理:$P(\Omega)=1$;
- 可列可加性公理:若$A_1,A_2,\cdots,A_n,\cdots$互不相容,有$$P(\bigcup\limits_{i=1}^{+\infty} A_i)=\sum \limits_{i=1}^{+\infty} P(A_i)$$
则称$P(A)$为事件$A$的概率,称三元素$(\Omega,\mathcal{F},\mathcal{P})$为概率空间。