AC自动机和字典树

Note:阅读本文需要有KMP算法基础

 

AC自动机是用来处理多串匹配问题的,即给你很多串,再给你一篇文章,让你在文章中找这些串是否出现过,在哪出现。也许你考虑过AC自动机名字的含义,我也有过同样的想法。你现在已经知道KMP了,他之所以叫做KMP,是因为这个算法是由KnuthMorrisPratt三个提出来的,取了这三个人的名字的头一个字母。那么AC自动机也是同样的,他是Aho-Corasick。所以不要再YY地认为AC自动机是AC(cept)自动机,虽然他确实能帮你AC一点题目。

。。。扯远了。。。

 

要学会AC自动机,我们必须知道什么是Trie,即字母树。如果你会了,请跳过这一段

        Trie是由字母组成的。

        先看张图: 

 

这就是一棵Trie树。用绿色标出的点表示一个单词的末尾(为什么这样表示?看下去就知道了)。树上一条从root到绿色节点的路径上的字母,组成了一个“单词”。

       /* 也许你看了这一段,就知道如何构建Trie了,那请跳过以下几段。*/

        那么如何来构建一棵Trie呢?就让我从一棵空树开始,一步步来构建他。

 

一开始,我们有一个root:

 

 

 

 

 

现在,插入第一个单词,she。这就相当于在树中插入一条链。过程很简单。插完以后,我们在最后一个字母’e’上加一个绿色标记,结果如图:

 

 

        再来一个单词,shr(什么词?…..右位移啊)。由于root下已经有’s’了,我们就不重复插入了,同理,由于’s’下有’h’了,我们也略过他,直接在’h’下插入’r’,并把’r’标为绿色。结果如图:

 

       按同样的方法,我们继续把余下的元素插进树中。

       最后结果:

       

     也就是这样:

 

      

好了,现在我们已经有一棵Trie了,但这还不够,我们还要在Trie上引入一个很强大的东西:失败指针或者说shift数组或者说Next函数 …..你爱怎么叫怎么叫吧,反正就是KMP的精华所在,这也是我为什么叫你看KMP的原因。

KMP中我们用两个指针i和j分别表示,A[i-j+ 1..i]与B[1..j]完全相等。也就是说,i是不断增加的,随着i的增加j相应地变化,且j满足以A[i]结尾的长度为j的字符串正好匹配B串的前 j个字符,当A[i+1]<>B[j+1],KMP的策略是调整j的位置(减小j值)使得A[i-j+1..i]与B[1..j]保持匹配且新的B[j+1]恰好与A[i+1]匹配(从而使得i和j能继续增加)。

Trie树上的失败指针与此类似。

        假设有一个节点k,他的失败指针指向j。那么k,j满足这个性质:设root到j的距离为n,则从k之上的第n个节点到k所组成的长度为n的单词,与从root到j所组成的单词相同。

        比如图中she中的’e’的失败指针就应该指向her中的’e’。因为:

     

图中红框部分是完全一样的。

那么我们要怎样构建这个东西呢?其实我们可以用一个简单的BFS搞定这一切。

对于每个节点,我们可以这样处理:设这个节点上的字母为C,沿着他父亲的失败指针走,直到走到一个节点,他的儿子中也有字母为C的节点。然后把当前节点的失败指针指向那个字目也为C的儿子。如果一直走到了root都没找到,那就把失败指针指向root

最开始,我们把root加入队列(root的失败指针显然指向自己),这以后我们每处理一个点,就把它的所有儿子加入队列,直到搞完。

至于为什么这样就搞的定,我们讲下去就知道了。

好了,现在我们有了一棵带失败指针的Trie了,而我的文章也破千字了,接下来,我们就要讲AC自动机是怎么工作的了。

AC自动机是个多串匹配,也就是说会有很多串让你查找,我们先把这些串弄成一棵Trie,再搞一下失败指针,然后我们就可以开始AC自动机了。

一开始,Trie中有一个指针t1指向root,待匹配串(也就是“文章”)中有一个指针t2指向串头。

接下来的操作和KMP很相似:如果t2指向的字母,是Trie树中,t1指向的节点的儿子,那么t2+1,t1改为那个儿子的编号,否则t1顺这当前节点的失败指针向上找,直到t2是t1的一个儿子,或者t1指向根。如果t1路过了一个绿色的点,那么以这个点结尾的单词就算出现过了。或者如果t1所在的点可以顺着失败指针走到一个绿色点,那么以那个绿点结尾的单词就算出现过了。

我们现在回过来讲讲失败指针。实际上找失败指针的过程,是一个自我匹配的过程。

 

 

 

如图,现在假定我们确定了深度小于2(root深度为1)的所有点的失败指针,现在要确定e。这就相当于我们有了这样一颗Trie:

 

 

而文章为’she’,要查找’e’在哪里出现。我们接着匹配’say’,那’y’的失败指针就确定了。

好好想想。前面讲的BFS其实就是自我匹配的过程,这也是和KMP很相似的。

 

原文链接:http://hi.baidu.com/tjrac_miracle/blog/item/f44b8323fd9b37f5d7cae2d2.html

posted @ 2012-08-19 09:08  山路水桥  阅读(370)  评论(0编辑  收藏  举报