Sylow定理

定义：设群$G$的阶数$|G|=p^rm$,其中$p$为素数且$(p,m)=1$,那么$G$的$p^k(k\leq r)$阶子群均叫做$G$的$p$子群,特别的$p^r$阶子群称为Sylow $p-$子群.

Lagrange定理告诉我们子群的阶数一定是群阶数的因子,但是反过来未必成立,也就是说对于群$G$阶数的任意因子$d$,$G$未必有$d$阶子群.例如$60$阶群$A_5$没有$30$阶子群,因为如果有这一定是正规的,与$A_5$的单性相矛盾.但是对于$p$子群的问题,我们有：

Sylow第一定理     设群$G$的阶数$|G|=n=p^lm$,其中$p$为素数且$(p,m)=1$.那么对任意的$p^k\big||G|$,$G$存在$p^k$阶子群,特别的Sylow$p-$子群存在.

证明    命集合$\Omega:=\left\{A\subset G:|A|=p^k\right\}$即为$G$的$p^k$阶子集的全体,显然$|\Omega|=\binom{n}{p^k}$.考虑置换表示$\phi:G\to S(\Omega)$,$\phi(g)A=gA$,从而$\Omega$可被分解成一些轨道的无交并,从而$$\binom{n}{p^k}=|\Omega|=\sum_{i=1}^{t}\left|\mathrm{Orb}(A_i)\right|=\sum_{i=1}^{t}\frac{p^lm}{\left|\mathrm{Stab}(A_i)\right|}$$接下来需要一个引理:$p^{l-k}\big\|\binom{n}{p^lm}$,其中$\big\|$表示恰好整除的意思,即$$p^{l-k}\big|\binom{n}{p^k},p^{l-k+1}\nmid\binom{n}{p^k}$$证明的话只需将组合数公式展开即可.

根据引理,那么存在某个轨道$\mathrm{Orb}(A)$使得$p^{l-k+1}\nmid|\mathrm{Orb}(A)|$,但是$|\mathrm{Orb}(A)|$是$|G|=p^lm$的因子,这说明$|\mathrm{Orb}(A)|$含有$p$的因子至多为$p^{l-k}$,而$$|\mathrm{Stab}(A)|=\frac{p^lm}{|\mathrm{Orb}(A)|}$$这说明$|\mathrm{Stab}(A)|$含有$p$的因子至少为$p^k$,也就是说$p^k\big||\mathrm{Stab}(A)|$,另一方面注意到$\forall a\in A$有$$\mathrm{Stab}(A)a:=\left\{ga:g\in\mathrm{Stab}(A)\right\}\subset A$$这说明$|\mathrm{Stab}(A)|=|\mathrm{Stab}(A)a|\leq |A|=p^k$,因此$|\mathrm{Stab}(A)|=p^k$,即为$G$的$p^k$阶子群.

 Sylow第二定理    设群$G$的阶数$|G|=n=p^lm$,其中$p$为素数且$(p,m)=1$.设$H$是$G$的任意$p^k,(k\leq l)$阶子群,而$P$为$G$的Sylow$p-$子群.那么存在$g\in G$使得$$H\subset gPg^{-1}$$换言之群的任意$p$子群必然包含在Sylow$p-$子群的某个共轭子群(事实上这也是Sylow$p-$子群)中,特别的全体Sylow$p-$子群彼此共轭.

证明    命$\Omega:=\{gP:g\in G\}$即为$P$在$G$中的左陪集全体,根据Lagrange定理$|\Omega|=m$,考虑置换表示$\phi:H\to S(\Omega)$,定义$\phi(h)gP=hgP$.那么我们有轨道的无交并分解$$|\Omega|=m=\sum_{i=1}^{t}|\mathrm{Orb}(P_i)|,P_i=g_iP$$注意到每个$|\mathrm{Orb}(P_i)|$都是$|H|=p^k$的因子,但是等式左边$(m,p)=1$,这说明一定存在某个轨道长度为$1$(也就是不动点),设为$|\mathrm{Orb}(gP)|=1$,即$\forall h\in H$都有$hgP=gP$,从而$H\subset gPg^{-1}$.

特别的如果$k=l$,那么$H$本身也是Sylow$p-$子群,那么$|H|=|gPg^{-1}|=p^l$,从而$H=gPg^{-1}$,这说明Sylow$p-$子群彼此共轭.

Sylow第二定理的一个直接推论是,如果群$G$的Sylow$p-$子群仅有一个,那么必然是正规的!

Sylow第三定理    设群$G$的阶数$|G|=n=p^lm$,其中$p$为素数且$(p,m)=1$.那么$G$的Sylow$p-$子群个数$N(p)$满足$$N(p)\big|m,N(p)\equiv 1(\mathrm{mod}~~p)$$证明    任取$G$的Sylow$p-$子群$P$,按照第二定理可知$N(p)=[G:N_G(P)]\big|[G:P]=m$.另一方面命集合$\Omega:=\left\{gPg^{-1}:g\in G\right\}$即为$G$的Sylow$p-$子群的全体,考虑置换表示$\phi:P\to S(\Omega)$,定义$\phi(a)gPg^{-1}=agPg^{-1}a^{-1}$,那么我们有轨道分解$$|\Omega|=N(p)=\sum_{i=1}^{t}\left|\mathrm{Orb}(P_i)\right|,P_i:=g_iPg_{i}^{-1}$$根据轨道稳定子定理每个轨道的长度$\left|\mathrm{Orb}(P_i)\right|$都是群$P$阶数$p^l$的因子,但是$N(p)\big|m$,而$(p,m)=1$,这说明必然有一些轨道的长度为$1$,这些元素便构成了不动点集$\Omega_0$,从而$$N(p)=|\Omega_0|+\sum_{\left|\mathrm{Orb}(P_i)\right|\geq2}\left|\mathrm{Orb}(P_i)\right|$$设$gPg^{-1}\in\Omega_0$,那么$\forall a\in P$都有$agPg^{-1}a^{-1}=gPg^{-1}\Rightarrow g^{-1}Pg\subset N_{G}(P)$,由于$|g^{-1}Pg|=|P|=p^l$,因此$g^{-1}Pg,P$都是$N_G(P)$的Sylow$p-$子群,按照第二定理二者必然在$N_G(P)$中共轭,即存在$b\in N_G(P)$使得$g^{-1}Pg=bPb^{-1}=P$,这说明$\Omega_0$仅有一个元素,即为$P$,因此$$N(p)\equiv1(\mathrm{mod}p)$$