群表示论基础——群在集合上的作用

设$\Omega$是一个集合,那么群$G$到对称群$S(\Omega)$的每个同态$\phi:G\to S(\Omega)$叫做群$G$在集合$\Omega$上的一个置换表示.特别的如果$\phi$是单的,那么称$\phi$是忠实表示.

注意群$G$中任意元素$g$在$\phi$下的像$\phi(g)$是$\Omega$中的一个置换,因此我们可以将群$G$中的每个元素视作置换,即$$ga:=\phi(g)a,\forall a\in\Omega$$形象的看就是群作用在集合上.

如果我们在$\Omega$中定义关系$a\sim b\Leftrightarrow\exists g\in G$使得$ga=b$,不难验证这是一个等价关系,那么$\Omega$可被分解成一些等价类的无交并,如果我们记$[a]=\{ga:g\in G\}$为等价类,那么$$\Omega=\bigcup_{a}[a]$$其中每个等价类称为$G-$轨道,元素$a$的轨道也记作$$\mathrm{Orb}_a:=[a]$$也记作$O_a$.特别的如果$\Omega$只有一条轨道,那么称$G$在$\Omega$上的作用是传递的(也称为可迁的).那么显然$G$在每条轨道上的作用是传递的.我们来看具体的群作用的例子:

例1.设$G$是群,取$\Omega=G$,考虑映射$\phi:G\to S(G)$,定义$\phi(g)a=ga,\forall a,g\in G$,那么$\phi$是一个同态,这是因为$\forall g,h,a\in G$有$$\phi(gh)a=gha=\phi(g)\phi(h)a$$因此$\phi$是群$G$在集合$G$上的一个置换表示,并且$$\mathrm{Ker}\phi=\{1\}$$我们也把这个表示称为群$G$的左正则表示,且显然这个表示是忠实的.类似的可以定义右正则表示.

利用此我们可以得出如下的Cayley定理:每个群均同构于某个置换群.

只需对例1中的左正则表示用同态基本定理$G=G/\mathrm{Ker}\phi\simeq\mathrm{Im}\phi\leq S(G)$,这就说明群$G$同构于某个置换群.

例2.设$H\leq G$,取$\Omega:=\{aH:a\in G\}$即为全体左陪集构成的集合,考虑映射$\pi_H:G\to S(\Omega)$,定义$\pi_H(g)(aH)=gaH$,不难验证这也是一个同态,称为$G$对于子群$H$的左诱导表示.如果$g\in\mathrm{Ker}\pi_H$,那么$\forall a\in G$有$\pi_H(g)(aH)=gaH=aH\Rightarrow g\in aHa^{-1}$,注意$a$的任意性可知$$\mathrm{Ker}\pi_H=\bigcap_{a\in G}aHa^{-1}$$即为$H$的全体共轭子群之交.类似的也可以定义右诱导表示.

例3.设$A\subset G$是群$G$的任意子集,取$\Omega:=\{aAa^{-1}:a\in G\}$即为$A$的共轭子集的全体.考虑映射$\rho_A:G\to S(\Omega)$,定义$\rho_A(g)aAa^{-1}=gaAa^{-1}g^{-1}$,这也是一个同态,称为群$G$对于子集$A$的共轭表示.类似的可求出其同态核$$\mathrm{Ker}\rho_A=\bigcap_{a\in G}aN_G(A)a^{-1}$$即为$A$的正规化子$N_G(A)$的全体共轭子群之交.

设$a\in\Omega$,我们考虑集合$\mathrm{Stab}(a):=G_a:=\{g\in G:ga=a\}$,即为保持元素$a$不动的那些群元素之集合.不难验证其构成群$G$的子群,即$\mathrm{Stab}(a)\leq G$,称作元素$a$的稳定子群.我们有如下的:

轨道-稳定子定理    设有限群$G$作用在集合$\Omega$上,那么$\forall a\in \Omega$有$$|G|=|\mathrm{Orb}(a)|\cdot|\mathrm{Stab}(a)|\leftrightarrow|\mathrm{Orb}(a)|=[G:\mathrm{Stab}(a)]$$证明    设$G=\cup_{i=1}^{n}g_i\mathrm{Stab}(a)$,注意到$\forall g,h\in G$,那么$$g\mathrm{Stab}(a)=h\mathrm{Stab}(a)\Leftrightarrow h^{-1}g\in\mathrm{Stab}(a)\Leftrightarrow h^{-1}ga=a\Leftrightarrow ga=ha$$这说明在同一陪集中的元素作用在$a$上的结果是相同的,且不同陪集的元素作用结果不同.这便说明了$$|\mathrm{Orb}(a)|=[G:\mathrm{Stab}(a)]$$

特别的如果$G$在$\Omega$上的作用是可迁的,那么$$|G|=|\Omega|\cdot|\mathrm{Stab}(a)|,\forall a\in\Omega$$而若$G$是无限群,轨道长度有限时,我们通常用后面的表达形式$|\mathrm{Orb}(a)|=[G:\mathrm{Stab}(a)]$.

特别的如果$a,b$位于同一轨道中,即存在$g\in G$使得$b=ga$,那么我们看他们的稳定子群有什么关系.任取$h\in\mathrm{Stab}(b)$,则$hb=b\Rightarrow hga=ga\Rightarrow g^{-1}hg\in\mathrm{Stab}(a)$,即$\mathrm{Stab}(b)\subset g\mathrm{Stab}(a)g^{-1}$,类似可得$\mathrm{Stab}(b)\subset g\mathrm{Stab}(a)g^{-1}$,这说明$$\mathrm{Stab}(b)=g\mathrm{Stab}(a)g^{-1}$$即同一轨道中元素的稳定子群是共轭的.

例4.正$n(n\geq3)$边形的对称群.

我们把平面中能够使得图形$\Gamma$与自身重合的正交变换(旋转和镜面反射)称作称作图形$\Gamma$的对称,显然全体这种对称构成一个群,称为图形$\Gamma$的对称群,记作$S(\Gamma)$,特别的正$n$边形的对称群,记作$D_n$.我们来考虑它的结构:

显然$D_n$可看做是对$n$个顶点的置换,我们可以视作群$D_n$作用在顶点击$\Omega=\{1,2,\cdots,n\}$上,显然这个作用是传递的,用绕中心旋转$\frac{2\pi}{n}$的置换$\sigma=(12\cdots n)$依次作用即可.再者对于某个顶点$1$,保持$1$不动的置换只有两个,分别是恒等置换和保持$1$不动的反射

\[\tau = \left\{ \begin{array}{l}
(2,n)\left( {3,n - 1} \right) \cdots \left( {\frac{n}{2},\frac{n}{2} + 2} \right),n \equiv 0(\bmod 2) \\
\left( {2,n} \right)\left( {3,n - 1} \right) \cdots \left( {\frac{{n + 1}}{2},\frac{{n + 3}}{2}} \right),n \equiv 1(\bmod 2) \\
\end{array} \right.\]

 根据轨道-稳定子定理$|D_n|=|\Omega|\cdot|\mathrm{Stab}(1)|=2n$.注意到$\sigma^i\tau^j(0\leq i\leq n-1,0\leq j\leq1)$恰为$2n$个不同的置换,因此$$D_n=\{\sigma^i\tau^j:0\leq i\leq n-1,0\leq j\leq1\}$$并且运算满足$\sigma^n=\tau^2=1,\tau\sigma=\sigma^{-1}\tau$且$\sigma\tau=\tau\sigma^{-1}$,据此可以得到更一般的$$\tau\sigma^m=\sigma^{-m}\tau,\forall m\in\mathbb Z$$

 进一步的我们可以求出$D_n$的中心$C(D_n)$.显然$\sigma^i\tau\notin C(D_n)$,而若$\sigma^i\in C(D_n),(0\leq i\leq n-1)$,注意到$D_n$的结构,仅需保证其与$\tau$可换即可,即$$\sigma^i\tau=\tau\sigma^i\Leftrightarrow\sigma^{2i}=1\Leftrightarrow n\big|2i$$因此$$C(D_n)=\left\{\begin{matrix}\{1,\sigma^m\}&n=2m\\\{1\}&n=2m+1\end{matrix}\right.$$

 

 与稳定子群类似,$\forall g\in G$,我们定义元素$g$作用下的不动点的概念$$N(g):=\{a\in\Omega:ga=a\}$$,即$\Omega$中在置换$g$作用下保持不动的那些元素.关于不动点,我们有著名的Burnside引理:

设有限群$G$作用在集合$\Omega$上,那么$\Omega$中轨道的条数$$m=\frac{1}{|G|}\sum_{g\in G}|N(g)|$$直观来讲就是$G$在$\Omega$的作用时,平均有$t$个不动点.下面给出他的证明:

按照定义显然有$\sum\limits_{a\in\Omega}|\mathrm{Stab}(a)|=\sum\limits_{g\in G}|N(g)|$,另一方面注意到位于同一轨道中两元素的稳定子群是共轭的,因而具有相同的基数,从而$$\sum_{a\in\Omega}\mathrm{Stab}(a)=\sum_{i=1}^{m}|\mathrm{Orb}(a_i)|\cdot|\mathrm{Stab}(a_i)|=m|G|$$因此定理成立.

这是组合数学中一个重要的计数定理，但是在实际应用时$N(g)$并不好直接计算,所以有更进一步的的Polya定理来处理计数问题.有兴趣不妨查阅组合数学的教材.

类似的我们可以定义群$G$作用下的不动点:$$\Omega_0:=\{a\in\Omega:ga=a,\forall g\in G\}$$即群$G$每个元素都保持不动的$\Omega$中的元素.

 在后面的Sylow定理中会涉及整个群作用下不动点的应用.