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正规子群和商群

H<G,全体左陪集构成的集合¯G={gH:gG},我们希望赋予¯G群的结构,很自然的定义乘法为aHbH=abH容易验证此运算下有幺元H,以及任意的aH¯G有逆元a1H.但是最主要的问题是:左陪集的代表元选取并不唯一,那么次乘法的定义是否是无矛盾的?换言之,若aH=aH,bH=bH,是否有abH=abH?这要求a1abH=bH=bH,此即HbH=bHb1HbH=H,因此b1HbH,注意到对称性,自然还有bHb1HHb1Hb,因此b1Hb=H也就是说H的共轭子群仍是自己.由此我们引出正规子群的概念:

定义    G的子群N称为G的正规子群,如果gGg1Ng=N,记作NG.

如果NG,不难看出下列条件是等价的:

1.NG;

2.对任意的gG,gN=Ng;

3.NG(N)=G;

4.G对于N的每个左陪集均是右陪集.

定理得证明是显然的.由前面的分析可知如果NG的正规子群,那么陪集集合¯G在上述陪集乘法定义下构成一个群,称为群GN的商群,也记作G/N:=¯G,根据Lagrange定理可得商群的阶数|G/N|=[G:N]=|G||N|

需要注意的是,我们在高等代数中知道:线性空间V可以对其任意子空间M作商空间V/M.但是群只能对正规子群作商群!

可以看出群G一定有两个正规子群{1},G,称为平凡正规子群,我们把那些只有平凡正规子群的群称作单群!

 

posted @   陶哲轩小弟  阅读(5578)  评论(0编辑  收藏  举报
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