正规子群和商群
设H<G,全体左陪集构成的集合¯G={gH:g∈G},我们希望赋予¯G群的结构,很自然的定义乘法为aH⋅bH=abH容易验证此运算下有幺元H,以及任意的aH∈¯G有逆元a−1H.但是最主要的问题是:左陪集的代表元选取并不唯一,那么次乘法的定义是否是无矛盾的?换言之,若aH=a′H,bH=b′H,是否有abH=a′b′H?这要求a′−1abH=b′H=bH,此即HbH=bH⇔b−1HbH=H,因此b−1Hb⊂H,注意到对称性,自然还有bHb−1⊂H⇒H⊂b−1Hb,因此b−1Hb=H也就是说H的共轭子群仍是自己.由此我们引出正规子群的概念:
定义 群G的子群N称为G的正规子群,如果∀g∈G有g−1Ng=N,记作N◃G.
如果N≤G,不难看出下列条件是等价的:
1.N◃G;
2.对任意的g∈G,gN=Ng;
3.NG(N)=G;
4.G对于N的每个左陪集均是右陪集.
定理得证明是显然的.由前面的分析可知如果N是G的正规子群,那么陪集集合¯G在上述陪集乘法定义下构成一个群,称为群G模N的商群,也记作G/N:=¯G,根据Lagrange定理可得商群的阶数|G/N|=[G:N]=|G||N|
需要注意的是,我们在高等代数中知道:线性空间V可以对其任意子空间M作商空间V/M.但是群只能对正规子群作商群!
可以看出群G一定有两个正规子群{1},G,称为平凡正规子群,我们把那些只有平凡正规子群的群称作单群!
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