子群的进一步讨论

正规化子    设集合$M$是群$G$的子集(未必是群),定义$N_G(M)=\left\{g\in G:gMg^{-1}=M\right\}$,不难验证$N_G(M)$是群$G$的子群,称为$M$在群$G$中的正规化子.

中心化子    定义$C_G(M)=\left\{g\in G:ga=ag,\forall a\in M\right\}$,即$G$中与集合$M$中元素均可换的那些元素,不难验证$C_G(M)$也是群$G$的子群,称为$M$在群$G$中的正规化子.且不难看出$C_{G}(M)\leq N_{G}(M)$.

特别的$C_G(G):=C(G)$,即与$G$中任意元素可换的那些元素,称为群$G$的中心.显然$C(G)$的大小反应了群$G$离Abel群的距离,也就是群$G$的可换程度.而$G$是Abel群也就等价为$C(G)=G$.

对于单个元素$a$而言,$N_G(a)=C_G(a)$,即表示与$a$可换的那些元素.

共轭关系    设$A,B$是群$G$的两个子集称为共轭的,如果存在$g\in G$使得$gAg^{-1}=B$.特别的如果$A$是$G$的子群,那么$B=gAg^{-1}$也是$G$的子群,称为$A$的共轭子群.不难验证共轭关系是一个等价关系,从而$G$的全体子群构成的集合也被分解成一些共轭类知无交并.特别的$g^{-1}ag$叫做$a$的共轭元素.

定理    设$M$是群$G$的子集,那么$G$中与$M$共轭的子集个数是$[G:N_G(M)]$.

证明    首先$M$的共轭子集可被写成$gMg^{-1}$,若$gMg^{-1}=hMh^{-1}$,等价为$h^{-1}g\in N_G(M)$,等价为$hNG_G(M)=gN_G(M)$,这说明$M$共轭子集的个数和$N_G(M)$的左陪集个数相等,即为$[G:N_G(M)]$.

推论    设$a\in G$,则与$a$共轭的元素个数为$[G:C_G(a)]\big||G|$.

由于共轭是一种等价关系,自然的,群$G$中的元素可以按照元素的共轭关系将$G$分解成一些共轭类的无交并$G=\bigcup_{i}[a_i]$,其中$[a_i]=\{ga_ig^{-1}:g\in G\}$,从而$$|G|=\sum_{i}\left|[a_i]\right|=|C(G)|+\sum_{\left|[a_i]\right|\geq2}\left|[a_i]\right|$$称为群$G$的类方程.利用类方程可以直接得出如下定理：

$p$群的中心非平凡(指的是$C(G)\neq\{1\}$).

其中$p$群指的是阶数为$p^n$($n\in\mathbb N^*$且$p$为素数)的群.

证明    由类方程$$p^n=C(G)+\sum_{\left|[a_i]\right|\geq2}\left|[a_i]\right|$$而注意到$|[a_i]|=\frac{|G|}{|C_G(a_i)|}\geq2$,从而$p\big||[a_i]|$,因此$p\big|C(G)$,这说明$C(G)$非平凡.

另一个类似的结论是:

$p^2$($p$为素数)阶群$G$均是Abel群.

证明    如果$G$中存在$p^2$阶元,那么显然$G$是Abel群.否则$G$中除了幺元,其他的都是$p$阶元.由前面的定理$G$的中心非平凡,取$p$阶元$a\in C(G)$,命$A=\{1,a,\cdots,a^{p-1}\}\leq G$,再任取$G$的$p$阶元$b\notin A$.显然$A,Ab,\cdots,Ab^{p-1}$是$A$在$G$的$p$个不同的陪集,而$[G:A]=p$,因此这便是$A$的全部陪集.从而$G=\left\{a^nb^m:0\leq n\leq p-1,0\leq m\leq p-1\right\}$.而$a\in C(G)$,按照定义$ab=ba$,那么不难验证$G$为Abel群.